出てくるもの（1）：電荷の保存は方程式が解けるための条件

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第8章 §2.8.3　★★★ 結合の項 $-J^\mu A_\mu$ がゲージ不変であることと、源の電荷が保存することは同じ条件である

結合の項のゲージ変換

作用 (2.8.2) のうち源との結合の項 $S_{\mathrm{結合}}=-\frac1c\int J^\mu A_\mu\,\mathrm{d}^4x$ はゲージ変換 (2.8.4) で

$$S_{\mathrm{結合}}\ \longrightarrow\ S_{\mathrm{結合}}+\frac1c\int J^\mu\partial_\mu\Lambda\,\mathrm{d}^4x =S_{\mathrm{結合}}+\frac1c\int\partial_\mu\bigl(J^\mu\Lambda\bigr)\mathrm{d}^4x-\frac1c\int\Lambda\,\partial_\mu J^\mu\,\mathrm{d}^4x\tag{2.8.12}$$

と変わる。右辺の2項目は全微分なので、$\Lambda$ が有界な領域の外で $0$ なら消える。3項目は、$\Lambda$ を勝手に選べるので、

$$\partial_\mu J^\mu=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}=0\tag{2.8.13}$$

が各点で成り立つときに限り、すべての $\Lambda$ で消える。つまり、作用全体がゲージ不変であることと源の電荷が保存すること（連続の方程式）は同値である。

同じ結論は運動方程式の側からも出る。Maxwell 方程式 (2.8.3) の両辺の発散を取ると、左辺は恒等式 (2.8.11) で $0$ になるので

$$\mu_0\,\partial_\nu J^\nu=\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\tag{2.8.14}$$

を得る。源を外から与えるとき、それが連続の方程式を満たしていなければ、Maxwell 方程式を満たす $A_\mu$ は1つも無い。定理 2.8.1 で言えば、作用全体の Euler–Lagrange 式は $\mathcal E^\nu=\frac{1}{\mu_0}\partial_\mu F^{\mu\nu}-J^\nu$ で、その発散は $-\partial_\nu J^\nu$ である。定理の仮定（作用がゲージ不変）が成り立つためには、これが $0$ でなければならない。

第2部第7章の電荷の保存との関係

第2部第7章では、荷電粒子の場（複素数の場 $\psi$）の Lagrangian 密度が大域的な位相の取り替え $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi$（$\Lambda$ は定数）で変わらないことから、第1定理で電流 $J^\mu$ とその保存を出した。ゲージ変換を電磁場と物質の両方に当てる場合（$A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ と $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda(x)/\hbar}\psi$ を同時に行う。記法の正本 §3 の流儀）、$\Lambda$ が定数のものは電磁場を動かさず $\psi$ の位相だけを回すので、第2部第7章の大域的な変換はゲージ変換の特別な場合である。物質の作用がゲージ不変であれば、第2定理から $\partial_\nu J^\nu$ は物質の Euler–Lagrange 式の組み合わせに恒等的に等しくなり、物質が運動方程式に従えば $0$ になる。したがって2つの道は、保存則の出どころを別の角度から見ている。第1定理は「物質が運動方程式に従えば電荷が保存する」と言い、第2定理は「電荷が保存しなければ電磁場の方程式が解けない」と言う。局所的なゲージ不変性を出発点にして相互作用の形を決める見方（ゲージ原理）は、第5部第5章で量子場について扱う。

点電荷の場合

点電荷が経路 $\bm{r}(t)$ を動くとき、電荷密度と電流密度は $\rho=q\,\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}(t))$、$\bm{J}=q\dot{\bm{r}}\,\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}(t))$ で、

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-q\dot{\bm{r}}\cdot\nabla\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{r}(t))=-\nabla\cdot\bm{J}$$

なので連続の方程式は自動的に満たされる。これを結合の項に入れると $-\frac1c\int J^\mu A_\mu\mathrm{d}^4x=\int(-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A})\mathrm{d} t$ となり、粒子の作用 (2.8.1) の相互作用の部分に一致する。そのゲージ変換は式 (2.8.7) から $q\bigl[\Lambda(\bm{r}(t),t)\bigr]_{t_1}^{t_2}$ で、世界線の両端の値しか残らない。世界線が途中で途切れる（電荷が消える）と、その端で $\Lambda$ の値が残ってゲージ不変性が破れる。ゲージ不変性は「電荷の世界線は途切れない」という要求として読むこともできる。