選ぶもの：平坦な計量のまわりの2次の作用

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第18章 §2.18.1　★★★ $g=\eta+h$ と分けて Einstein–Hilbert 作用を $h$ の2次まで展開すると、$h_{\mu\nu}$ を平坦な時空の上の場とする作用（Fierz–Pauli の形）が得られる

第2部第15章で、重力場そのものの作用として Einstein–Hilbert 作用を選び、その変分から Einstein 方程式を出した。Einstein 方程式は計量 $g_{\mu\nu}$ について非線形で、一般には解けない。ところが太陽系の外を伝わってくる重力の波は、地上に届いたときには計量を平坦な $\eta_{\mu\nu}$ から $10^{-21}$ 程度しかずらさない。そこで $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ と分け、作用を $h_{\mu\nu}$ の2次まで展開すると、$h_{\mu\nu}$ を「平坦な時空の上の場」とする線形な場の理論が得られる。この章では、その2次の作用を選ぶ。

当てる道具は、第2部第5章の場の Euler–Lagrange 方程式、第2部第8章のゲージ不変性と拘束による自由度の数え方、第2部第7章のエネルギー運動量テンソル、第2部第14章の測地線偏差の方程式である。2次の作用は座標の取り替えに対応するゲージ変換 $h_{\mu\nu}\to h_{\mu\nu}-\partial_\mu\xi_\nu-\partial_\nu\xi_\mu$ で変わらず、これが電磁場の $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ とまったく同じ役を果たす。その結果、$h_{\mu\nu}$ の10成分のうち波として伝わる自由度は2つ（$h_+$ と $h_\times$ の2つの偏極）しか残らない。

出てくるものは3つある。①横波でトレースが $0$ のゲージ（TT ゲージ）での2つの偏極と、それが自由落下する質点の輪を変形させるしかた。②重力波が運ぶエネルギーの流れと、源の質量の四重極モーメントの3階微分で放射の強さが決まる四重極公式。③四重極公式を連星に当てた結果として、公転周期の減少（Hulse–Taylor の連星パルサー）と、合体の直前に周波数が上がるチャープ（GW150914）。最後に、電磁気学の双極子放射・Lorenz ゲージ・Newton の重力のポテンシャルという授業での書き方を、この章の式と並べる。

単位は SI、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$x^\mu=(ct,\bm{x})$、$\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2$ で、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字は和を取る（記法の正本どおり）。添字の上げ下げは $\eta_{\mu\nu}$ で行う。観測で測る「ひずみ」は、線素を $\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-(\delta_{ij}+\hat h_{ij})\mathrm{d} x^i\mathrm{d} x^j$ と書いたときの $\hat h_{ij}$ で表す。この本の流儀では $h_{ij}=-\hat h_{ij}$ である（$g_{ij}=-\delta_{ij}+h_{ij}$ のため）。添字の付いた $h_{\mu\nu}$・$h_+$・$h_\times$ と Planck 定数 $\hbar$ は字が違う。

展開する作用

第2部第15章で選んだ作用は、重力場の部分と物質の部分の和

$$S=S_{\mathrm g}+S_{\mathrm m},\qquad S_{\mathrm g}=-\frac{c^3}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x,\qquad T_{\mu\nu}=\frac{2c}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\mathrm m}}{\delta g^{\mu\nu}}\tag{2.18.1}$$

である。この変分から Einstein 方程式 $G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ が出る。ここで計量を

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad \lvert h_{\mu\nu}\rvert \ll1\tag{2.18.2}$$

と分ける。逆計量は1次までで $g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$（$h^{\mu\nu}=\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}h_{\alpha\beta}$）で、実際 $g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^\mu{}_\nu+\mathcal{O}(h^2)$ になる。$h_{\mu\nu}$ の跡を $h=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ と書く。

Christoffel 記号は $h$ の1次で

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\tfrac12\eta^{\rho\sigma}(\partial_\mu h_{\sigma\nu}+\partial_\nu h_{\sigma\mu}-\partial_\sigma h_{\mu\nu})\tag{2.18.3}$$

になり、Riemann テンソルの定義（記法の正本 §4）の $\Gamma\Gamma$ の項は2次なので落ちる。1次の Riemann テンソルを縮約して、1次の Einstein テンソルは

$$G^{(1)}_{\mu\nu}=\tfrac12\bigl(\partial^\rho\partial_\mu h_{\nu\rho}+\partial^\rho\partial_\nu h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu h -\eta_{\mu\nu}\partial^\rho\partial^\sigma h_{\rho\sigma}+\eta_{\mu\nu}\Box h\bigr)\tag{2.18.4}$$

になる。この式は (−,+,+,+) の教科書の式と文字の上でまったく同じ形をしている。$h_{\mu\nu}$・$\eta_{\mu\nu}$・$\Box$ の符号がそろって逆になり、各項で打ち消し合うためである（第2部第11章の対応表で $G_{\mu\nu}$ が両方の流儀で同じであることと整合する）。

2次の作用

$S_{\mathrm g}$ を $h$ の2次まで展開する計算は長いので、結果を書き、それが正しいことを「変分すると $G^{(1)}_{\mu\nu}$ が出る」ことで確かめる。時間あたり・体積あたりの Lagrangian 密度で書くと（$S=\int\mathcal L\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x$）、

$$\mathcal L_2=\frac{c^4}{64\pi G}\Bigl(\partial_\lambda h_{\mu\nu}\,\partial^\lambda h^{\mu\nu}-2\,\partial_\mu h^{\mu\lambda}\,\partial^\nu h_{\nu\lambda} +2\,\partial_\mu h^{\mu\nu}\,\partial_\nu h-\partial_\lambda h\,\partial^\lambda h\Bigr)\tag{2.18.5}$$

である。この形は Fierz と Pauli が質量の無いスピン2の場の作用として書いたものと同じ組み合わせで、ここではそれが Einstein–Hilbert 作用の2次の部分として出てくる。1次の項は全微分になって運動方程式に寄与せず、0次の項は $\eta$ の曲率が $0$ なので消える。

物質の作用の側は、$\delta g^{\mu\nu}=-\delta h^{\mu\nu}$ と $T_{\mu\nu}$ の定義 (2.18.1) から、$h$ の1次で

$$\mathcal L_{\mathrm{int}}=-\tfrac12T_{\mu\nu}h^{\mu\nu}\tag{2.18.6}$$

になる。これは電磁場の結合 $-J^\mu A_\mu$ と同じ形で、エネルギー運動量テンソルが重力の「源の流れ」の役をしている。

$\mathcal L_2+\mathcal L_{\mathrm{int}}$ を $h^{\mu\nu}$ について変分すると、場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）は

$$\frac{c^4}{16\pi G}G^{(1)}_{\mu\nu}-\frac12T_{\mu\nu}=0\quad\Longleftrightarrow\quad G^{(1)}_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\tag{2.18.7}$$

となり、Einstein 方程式の1次の部分（線形化した Einstein 方程式）に一致する（検算は verify で一般の $h_{\mu\nu}$ について行った）。

座標の取り替えがゲージ変換になる

座標を $x'^\mu=x^\mu+\xi^\mu(x)$ と少しずらすと、計量の成分は $g'_{\mu\nu}(x')=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}g_{\alpha\beta}(x)$ で変わる。$\xi$ と $h$ がともに小さいとして1次を残すと

$$h_{\mu\nu}\ \longrightarrow\ h_{\mu\nu}-\partial_\mu\xi_\nu-\partial_\nu\xi_\mu\qquad(\xi_\mu=\eta_{\mu\nu}\xi^\nu)\tag{2.18.8}$$

になる。同じ物理的な時空を別の座標で書いただけなので、測れる量はこの変換で変わってはならない。実際、1次の Riemann テンソルは (2.18.8) で変わらず、したがって $G^{(1)}_{\mu\nu}$ も2次の作用 (2.18.5) も（全微分を除いて）変わらない。電磁場の $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ では任意関数が1つだったのに対し、ここでは任意関数が4つ（$\xi_0,\dots,\xi_3$）ある。第2部第8章の Noether の第2定理をそのまま当てると、運動方程式の左辺の発散が恒等的に $0$ になる、つまり

$$\partial^\mu G^{(1)}_{\mu\nu}=0\qquad(\text{すべての }h_{\mu\nu}\text{ について})\tag{2.18.9}$$

が成り立つ。これは縮約した Bianchi 恒等式の1次の部分で、方程式 (2.18.7) が解を持つには $\partial^\mu T_{\mu\nu}=0$ が要る。電荷の保存が Maxwell 方程式の整合条件だったのと同じ構造である（第2部第8章）。

静的な弱い場 $h_{00}=2\Phi/c^2$、$h_{ij}=2\Psi\delta_{ij}/c^2$ では、$\mathcal L_2$ が 第2部第15章の式 (2.15.21) になり、$\Psi=\Phi$ とおくと Newton の重力の作用 $-(\nabla\Phi)^2/(8\pi G)$ に、結合 (2.18.6) は $-\rho\Phi$ に戻る。これは電磁気のスカラーポテンシャル $\phi$ との対応である。結合 $-\frac12T_{\mu\nu}h^{\mu\nu}$ には物質の流れ $T_{0i}$ と $h_{0i}$ の項もあり、これがベクトルポテンシャル $\bm{A}$ との対応になる。次の例題でそれを確かめる。

1　H. Thirring (1918), Physikalische Zeitschrift 19, 33。