当てる道具：ゲージの固定と自由度の数え方

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第18章 §2.18.2　★★★ 調和ゲージで方程式は波動方程式になり、拘束4本とゲージ4つを引くと10成分のうち動く自由度は2つ

跡を反転した場と調和ゲージ

式 (2.18.4) は項が多いので、跡を反転した場

$$\bar h_{\mu\nu}\coloneqq h_{\mu\nu}-\tfrac12\eta_{\mu\nu}h\qquad(\bar h\coloneqq\eta^{\mu\nu}\bar h_{\mu\nu}=-h)\tag{2.18.10}$$

を使う。$D_\nu\coloneqq\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}$ と書くと、(2.18.4) は

$$G^{(1)}_{\mu\nu}=-\tfrac12\Box\bar h_{\mu\nu}+\tfrac12(\partial_\mu D_\nu+\partial_\nu D_\mu)-\tfrac12\eta_{\mu\nu}\partial^\rho D_\rho\tag{2.18.11}$$

と書き直せる。ゲージ変換 (2.18.8) で $D_\nu$ は

$$D_\nu\ \longrightarrow\ D_\nu-\Box\xi_\nu\tag{2.18.12}$$

と変わる。したがって $\Box\xi_\nu=D_\nu$ を解いて $\xi_\nu$ を選べば、いつでも

$$\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0\tag{2.18.13}$$

にできる。これを調和ゲージ（de Donder ゲージ、または Lorenz ゲージ）と呼ぶ。電磁気の Lorenz ゲージ $\partial_\mu A^\mu=0$ が $\Box\Lambda=\partial_\mu A^\mu$ を解いて実現できたのと同じ手順である。調和ゲージでは (2.18.11) の後ろの2項が消え、線形化した Einstein 方程式は

$$\Box\bar h_{\mu\nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\tag{2.18.14}$$

という、成分ごとに独立な10本の波動方程式になる（この本の流儀。(−,+,+,+) では $\Box$ と $\bar h$ の符号がそろって変わり、同じ式になる）。右辺の符号は静的な場合で確かめられる。$\Box\to-\nabla^2$、$T_{00}=\rho c^2$ で $\nabla^2\bar h_{00}=16\pi G\rho/c^2$ となり、$\bar h_{00}=4\Phi/c^2$ と置けば Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ になる。真空では $\Box\bar h_{\mu\nu}=0$ で、重力の擾乱は光の速さ $c$ で伝わる。

自由度を数える

$h_{\mu\nu}$ は対称なので成分は10個ある。そのうち波として伝わるのがいくつかを、第2部第8章で $A_\mu$ に対して行ったのと同じ手順で数える。

第一に、方程式 (2.18.7) のうち $\mu=0$ の4本 $G^{(1)}_{0\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{0\nu}$ は、どの $h_{\mu\nu}$ の時間の2階微分も含まない（検算 verify で確かめた）。2次の作用を部分積分で整理すると $h_{0\mu}$ の時間微分は作用から除けて、$h_{0\mu}$ は電磁気の $\phi$ と同じく未定乗数の役をする（第1部第6章）。この4本は「初期値が満たすべき条件」すなわち拘束で、電磁気の Gauss の法則に当たる。第二に、ゲージ変換 (2.18.8) は任意関数を4つ含む。調和ゲージ (2.18.13) を課した後にも、$\Box\xi_\nu=0$ を満たす $\xi_\nu$ の分だけ変換の自由が残る。

電磁気では $4-1(\text{拘束})-1(\text{ゲージ})=2$ だった。ここでは

$$10-4\ (\text{拘束})-4\ (\text{ゲージ})=2\tag{2.18.15}$$

が各波数ごとに動く自由度の数になる。この2つが次の節の $h_+$ と $h_\times$ である。