授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.6　★★ Newton の重力の Lagrangian 密度が Einstein–Hilbert 作用の弱い場での2次の項であることを確かめ、教科書ごとの符号の違いを並べる

Newton の重力を場の理論として書く

授業の Newton の重力は、ポテンシャル $\Phi$ と Poisson 方程式（重力の Gauss の法則）で書く。

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho,\qquad \bm{g}=-\nabla\Phi,\qquad \oint\bm{g}\cdot\mathrm{d}\bm{A}=-4\pi G M_{\text{内}} .\tag{2.15.19}$$

これは場 $\Phi$ の Lagrangian 密度（時間あたり・体積あたり）

$$\mathcal L_{\mathrm N}=-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\Phi)^2-\rho\Phi\tag{2.15.20}$$

の Euler–Lagrange 方程式である（$\frac{\partial \mathcal L_{\mathrm N}}{\partial \Phi}-\partial_i\frac{\partial \mathcal L_{\mathrm N}}{\partial (\partial_i\Phi)}=-\rho+\frac{1}{4\pi G}\nabla^2\Phi=0$）。電磁気学の静電場の $\mathcal L=\frac{\epsilon_0}{2}(\nabla\phi)^2-\rho_{\mathrm e}\phi$ と比べると、場の項の符号が逆である。静電場では同符号の電荷が反発し、重力では同符号の質量（どれも正）が引き合う。この違いが場の項の符号に表れている。

Einstein–Hilbert 作用の2次の項

弱い静的な場を、$g_{00}=1+\frac{2\Phi}{c^2}$、$g_{ij}=-(1-\frac{2\Psi}{c^2})\delta_{ij}$ と2つのポテンシャルで書く。$S_{\mathrm g}$ の密度 $-\frac{c^4}{16\pi G}\sqrt{-g}\,R$（時間あたり・体積あたり。$\mathrm{d}^4x=c\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x$）を $\Phi,\Psi$ の2次まで展開すると、1次の項は全発散 $\frac{1}{8\pi G}\nabla^2\Phi$ で、2次の項は全発散を除いて

$$\mathcal L_{\mathrm g}^{(2)}=\frac{1}{8\pi G}\bigl[(\nabla\Psi)^2-2\nabla\Phi\cdot\nabla\Psi\bigr]\tag{2.15.21}$$

になる（verify で sympy により確かめた）。物質（静止した塵）の作用 $-\sum mc\int\mathrm{d} s$ の密度は $-\rho c^2\sqrt{g_{00}}\approx-\rho c^2-\rho\Phi$ で、$\Phi$ だけに結合する。$\Psi$ で変分すると $\frac{1}{4\pi G}\nabla^2(\Phi-\Psi)=0$ なので、無限遠で $0$ になる解では $\Psi=\Phi$。$\Phi$ で変分すると $\frac1{4\pi G}\nabla^2\Psi-\rho=0$ で、合わせて Poisson 方程式 (2.15.19) になる。$\Psi=\Phi$ を代入すると $\mathcal L_{\mathrm g}^{(2)}=-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\Phi)^2$ で、式 (2.15.20) の場の項そのものである。

この計算は2つのことを示している。第一に、$g_{00}$ だけをずらした計量（$\Psi=0$）では2次の項は全発散だけになり、Newton の重力は出ない。空間の計量も $\Psi=\Phi$ だけ曲がっていることが要る。第二に、物質がゆっくり動くかぎり $\Psi$ は粒子の運動に現れないが、光は $g_{00}$ と $g_{ij}$ の両方を感じる。光の曲がる角が Newton の計算の2倍になるのは $\Psi$ の分で、第2部第16章で回収する。

授業の式との対応表と、教科書による符号の違い

一般相対論の教科書の多くは (−,+,+,+) で書かれている。そこでは $S=\frac{c^3}{16\pi G}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$、$T_{\mu\nu}=-\frac{2c}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\mathrm m}}{\delta g^{\mu\nu}}$、方程式は $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ である（Carroll は $c=1$ で書く）。計量の成分をすべて $-1$ 倍すると $R_{\mu\nu}$ と $G_{\mu\nu}$ は変わらず、$R$ と $g_{\mu\nu}$ の符号だけが反転する（記法の正本 §4 で確かめた）。したがって $G_{\mu\nu}$ と $T_{\mu\nu}$ の関係は2つの流儀で同じ形になり、作用の前の符号・$\Lambda$ の項の符号・$T$ の定義の符号の3つだけが入れ替わる。教科書を読み比べるときは、この3か所を確かめればよい。