出てくるもの（3）：Newton 極限で係数を決める・宇宙項

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.5　★★★ 弱い静的な場で Einstein 方程式が Poisson 方程式に戻ることを要求して $8\pi G/c^4$ と作用の符号を決め、$\Lambda$ を斥力として読む

係数を Newton の重力に合わせる

Einstein 方程式の右辺の係数を、いったん未知の $\kappa'$ として $G_{\mu\nu}=\kappa'T_{\mu\nu}$（$\Lambda=0$）と書き、Newton の重力に戻るように $\kappa'$ を決める。重力が弱く、物質がゆっくり動き、場が時間によらない場合を考える。計量を

$$g_{00}\approx1+\frac{2\Phi}{c^2},\qquad g_{ij}\approx-\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\delta_{ij}\tag{2.15.17}$$

とおく（$\Phi$ は Newton のポテンシャル、$\lvert \Phi\rvert \ll c^2$。記法の正本 §4）。第2部第12章で、この $g_{00}$ のもとで測地線方程式が $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ になることを見た。この計量の Ricci テンソルの $00$ 成分は、$\Phi/c^2$ の1次で $R_{00}=\nabla^2\Phi/c^2$ である（記法の正本 §4 で確かめた）。物質は静止した塵で、$T_{00}=\rho c^2$、$T=g^{00}T_{00}\approx\rho c^2$。トレースを取り直した式 (2.15.12) の形 $R_{00}=\kappa'(T_{00}-\frac12g_{00}T)$ に入れると

$$\frac{\nabla^2\Phi}{c^2}=\kappa'\Bigl(\rho c^2-\frac12\rho c^2\Bigr)=\frac{\kappa'\rho c^2}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad\nabla^2\Phi=\frac{\kappa'c^4}{2}\rho$$

となる。これが Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ と一致するには $\kappa'=8\pi G/c^4$ でなければならない。作用の前の係数 $c^3/(16\pi G)$ の $16\pi$ はここから決まった。

符号も同じ式で決まる。作用の前の符号を $+$ にすると 2.15.3節の計算で右辺の符号が反転し、$\nabla^2\Phi=-4\pi G\rho$ になる。このとき $\Phi$ は質量のまわりで正の極大を持ち、力 $-\nabla\Phi$ は質量から離れる向き、つまり斥力になる。重力が引力であることが、(+,−,−,−) の流儀で前の符号を $-$ にする理由である。

宇宙項は距離に比例する斥力

$\Lambda$ を残すと、式 (2.15.12) の $00$ 成分に $-\Lambda g_{00}\approx-\Lambda$ が加わり、

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho-\Lambda c^2\tag{2.15.18}$$

となる。物質のない所での球対称な解は $\Phi_\Lambda=-\frac{\Lambda c^2}{6}r^2$（$\nabla^2r^2=6$）で、加速度 $-\nabla\Phi_\Lambda=+\frac{\Lambda c^2}{3}r\,\bm{e}_r$ は外向きで距離に比例する。$\Lambda>0$ は距離に比例して強くなる斥力として現れる。物質のない宇宙の解 $a(t)=\mathrm{e}^{Ht}$（de Sitter 宇宙）では $G_{\mu\nu}=\frac{3H^2}{c^2}g_{\mu\nu}$ なので、式 (2.15.11) から $\Lambda=3H^2/c^2$ で、$\Lambda>0$ が加速膨張にあたる（記法の正本 §4 で確かめた）。このときスカラー曲率は式 (2.15.12) のトレースから $R=-4\Lambda=-12H^2/c^2$ である。符号の向きに注意する。(−,+,+,+) の教科書は $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}$ と書き、作用は $R-2\Lambda$ になるが、$\Lambda>0$ が斥力である点は同じである（記法の正本 §4 の表）。

宇宙項を右辺へ移すと $G_{\mu\nu}=\kappa\bigl(T_{\mu\nu}+\frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu}\bigr)$ で、$\frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu}$ を真空の持つエネルギー運動量テンソルと読むことができる。完全流体の形 $(\rho c^2+P)u_\mu u_\nu/c^2-Pg_{\mu\nu}$ と比べると、エネルギー密度 $\rho_\Lambda c^2=\Lambda c^4/(8\pi G)>0$、圧力 $P_\Lambda=-\rho_\Lambda c^2<0$ の流体にあたる。例題 2.15.4 の $w=-1$ で、膨張しても密度が薄まらない。Poisson 方程式の源は式 (2.15.12) から $\rho+3P/c^2$ の形で入るので、$\rho_\Lambda+3P_\Lambda/c^2=-2\rho_\Lambda<0$ が斥力になる。

宇宙項は A. Einstein が静止した宇宙の解を作るために導入した（A. Einstein (1917), Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1917, 142）。現在の観測値として、Planck Collaboration は宇宙背景放射の解析から Hubble 定数 $H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$、物質の密度パラメータ $\Omega_{\mathrm m}=0.315$ を得ている（Planck Collaboration (2020), Astron. Astrophys. 641, A6）。空間が平坦なら $\Omega_\Lambda=1-\Omega_{\mathrm m}=0.685$ で、$\Lambda=3\Omega_\Lambda H_0^2/c^2=1.09\times10^{-52}\,\mathrm{m^{-2}}$、$\rho_\Lambda=5.85\times10^{-27}\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$（エネルギー密度 $5.25\times10^{-10}\,\mathrm{J\,m^{-3}}$）になる。$H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}=2.18\times10^{-18}\,\mathrm s^{-1}$ を使った。

図 2.15.1　太陽からの距離 $r$ での引力（実線）と宇宙項の斥力（破線）の加速度。どちらも厳密な式で、傾きは $-2$ と $+1$。$r_\Lambda$ で交わる（例題 2.15.5）