出てくるもの（2）：座標の取り替えの不変性と $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.4　★★★ 作用が座標の取り替えで変わらないことの Noether 恒等式が、縮約 Bianchi 恒等式と物質の保存則になる

座標を少しずらす変換

座標を $x'^\mu=x^\mu+\epsilon\xi^\mu(x)$ とずらす（$\xi^\mu$ は時空の任意の関数）。同じ座標の値で比べた計量の成分の変化は、テンソルの変換則を $\epsilon$ の1次で展開すると

$$\delta g_{\mu\nu}=g'_{\mu\nu}(x)-g_{\mu\nu}(x)=-\epsilon\bigl(\xi^\lambda\partial_\lambda g_{\mu\nu}+g_{\lambda\nu}\partial_\mu\xi^\lambda+g_{\mu\lambda}\partial_\nu\xi^\lambda\bigr) =-\epsilon\bigl(\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu\bigr)\tag{2.15.14}$$

になる（括弧の中を Lie 微分と呼ぶ。2つめの等号は $\Gamma$ の定義を代入すると確かめられる）。式 (2.15.5) から $\delta g^{\mu\nu}=\epsilon(\nabla^\mu\xi^\nu+\nabla^\nu\xi^\mu)$。作用はスカラーの不変な積分なので、どんな $\xi^\mu(x)$ でも値が変わらない。これは 第2部第8章のゲージ変換と同じく、任意関数をパラメータに持つ対称性である。

物質の作用から：保存則

物質の作用 $S_{\mathrm m}[g,\psi]$ が座標のずらしで変わらないとき、変化は計量の変化による部分と物質の場の変化による部分の和で、合わせて $0$ である。物質の場が運動方程式（$\delta S_{\mathrm m}/\delta\psi=0$）を満たしていれば後者は消えるので、

$$0=\delta S_{\mathrm m}=\frac1{2c}\int\sqrt{-g}\,T_{\mu\nu}\,\epsilon(\nabla^\mu\xi^\nu+\nabla^\nu\xi^\mu)\,\mathrm{d}^4x =\frac{\epsilon}{c}\int\sqrt{-g}\,T_{\mu\nu}\nabla^\mu\xi^\nu\,\mathrm{d}^4x =-\frac{\epsilon}{c}\int\sqrt{-g}\,(\nabla^\mu T_{\mu\nu})\,\xi^\nu\,\mathrm{d}^4x$$

となる。2つめの等号は $T_{\mu\nu}$ の対称性、3つめは部分積分（式 (2.15.9)。$\xi$ は境界で $0$）である。$\xi^\nu$ は任意なので

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\tag{2.15.15}$$

を得る。これは物質の運動方程式から出る式で、Einstein 方程式は使っていない。平坦な時空では 第2部第7章の $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ に戻る。

重力場の作用から：縮約 Bianchi 恒等式

同じ議論を $S_{\mathrm g}$ に当てる。$S_{\mathrm g}$ は計量だけの汎関数なので、運動方程式を仮定する必要がなく、どんな計量でも$0=\delta S_{\mathrm g}\propto\int\sqrt{-g}\,(G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu})\nabla^\mu\xi^\nu\,\mathrm{d}^4x$ が成り立つ。同じ部分積分と $\nabla g=0$ から

$$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0\qquad(\text{すべての計量で成り立つ恒等式})\tag{2.15.16}$$

を得る。これは 第2部第14章で Riemann テンソルの Bianchi 恒等式を縮約して出した式と同じものである。任意関数をパラメータに持つ対称性があると、場の方程式の左辺どうしの間に恒等式が成り立つ。これを Noether の第2定理と呼ぶ（第2部第8章では、ゲージ不変性から $\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ が出た）。

2つを合わせると、Einstein 方程式 (2.15.11) の両辺の発散がそろって $0$ になる。左辺は恒等式で、右辺は物質の運動方程式で $0$ になる。宇宙項の $\Lambda g_{\mu\nu}$ も $\nabla g=0$ で発散が $0$ なので、加えても矛盾しない。左辺の発散が恒等的に $0$ であることは、10本の方程式のうち4本が独立でないことを意味する。計量の10成分のうち4つは座標の選び方で変えられる自由度で、方程式はそれを決めない。

共変な保存則は積分した保存則とは限らない

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=\partial_\mu T^{\mu\nu}+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}T^{\lambda\nu}+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}=0$ の最後の項は普通の発散の形に書くことができない。そのため一般には、物質のエネルギーを空間で積分した量は時間とともに変わる。物質と重力場がエネルギーをやりとりしていると読むことができるが、重力場のエネルギー密度は座標によらない形では定義することができない。計量に対称性があり Killing ベクトル $\xi^\mu$（$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0$、第2部第12章）があれば、$\nabla_\mu(T^{\mu\nu}\xi_\nu)=(\nabla_\mu T^{\mu\nu})\xi_\nu+T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=0$（第2項は $T$ が対称で $\nabla_{(\mu}\xi_{\nu)}=0$）なので、式 (2.15.9) から $\partial_\mu(\sqrt{-g}\,T^{\mu\nu}\xi_\nu)=0$ となり、積分した保存量を作ることができる。時間によらない計量ならエネルギーが、球対称なら角運動量が保存する。膨張する宇宙は時間の並進の Killing ベクトルを持たないので、次の例題のとおり光のエネルギーが減る。