当てる道具：計量の変分

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第15章 §2.15.2　★★★ $\sqrt{-g}$・逆計量・$R_{\mu\nu}$ の変分の3つの公式をそろえ、$\delta R_{\mu\nu}$ の寄与が全発散になることを示す

変える変数は逆計量

場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）は、場の本数だけの方程式を出す。計量は対称なので独立な成分が10本ある。変数には $g_{\mu\nu}$ を取っても逆計量 $g^{\mu\nu}$ を取ってもよく、計算が短くなる $g^{\mu\nu}$ を取る。$g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^\mu{}_\nu$ を変分すると $\delta g^{\mu\alpha}\,g_{\alpha\nu}+g^{\mu\alpha}\delta g_{\alpha\nu}=0$ なので、

$$\delta g_{\mu\nu}=-g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\,\delta g^{\alpha\beta}\tag{2.15.5}$$

である。2つの変数の取り方は、この式で互いに移り合う。

体積要素の変分

行列 $M$ の行列式の変分は $\delta\det M=\det M\,\operatorname{Tr}(M^{-1}\delta M)$ である（Jacobi の公式。$\ln\det M=\operatorname{Tr}\ln M$ を変分すると出る）。$M=g_{\mu\nu}$ に当てると $\delta g=g\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-g\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$（2つめの等号は式 (2.15.5)）なので、

$$\delta\sqrt{-g}=-\frac{\delta g}{2\sqrt{-g}}=-\frac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\tag{2.15.6}$$

を得る。

Ricci テンソルの変分（Palatini の恒等式）

$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ の変分は $\delta R=R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ である。第2項を調べる。Christoffel 記号はテンソルでないが、2つの接続の差 $\delta\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ はテンソルになる。座標変換で Christoffel 記号に足される非斉次の項は計量によらず、差を取ると消えるからである。ある点のまわりで $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=0$ になる座標（第2部第13章）を選ぶと、その点で Riemann テンソルの定義の $\Gamma\Gamma$ の項の変分は消え、$\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\delta\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\delta\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$ が残る。この点では $\partial$ を $\nabla$ に置き換えてよく、両辺ともテンソルなので、どの座標でも

$$\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\rho\,\delta\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}-\nabla_\nu\,\delta\Gamma^\rho{}_{\rho\mu}\tag{2.15.7}$$

が成り立つ（Palatini の恒等式）。$\nabla g=0$ を使って $g^{\mu\nu}$ を微分の中へ入れると

$$g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\sigma W^\sigma,\qquad W^\sigma\coloneqq g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\sigma{}_{\mu\nu}-g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\lambda{}_{\lambda\mu}\tag{2.15.8}$$

となり、$g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ はベクトル $W^\sigma$ の共変発散になる。

共変発散は境界の項になる

ベクトル $V^\sigma$ の共変発散は、$\Gamma^\lambda{}_{\lambda\sigma}=\partial_\sigma\ln\sqrt{-g}$（これも Jacobi の公式から出る）を使うと

$$\sqrt{-g}\,\nabla_\sigma V^\sigma=\sqrt{-g}\,(\partial_\sigma V^\sigma+\Gamma^\lambda{}_{\lambda\sigma}V^\sigma)=\partial_\sigma\bigl(\sqrt{-g}\,V^\sigma\bigr)\tag{2.15.9}$$

と普通の発散に書ける。したがって $\int\sqrt{-g}\,\nabla_\sigma W^\sigma\,\mathrm{d}^4x$ は、第2部第5章の発散定理で境界の面積分になる。第1部で端を固定した変分を考えたのと同じく、領域の境界で変分が $0$ なら、この項は場の方程式に寄与しない。

ただし $W^\sigma$ は $\delta\Gamma$、つまり $\delta g^{\mu\nu}$ の微分を含む。境界で $\delta g^{\mu\nu}=0$ と決めても、その法線方向の微分までは $0$ にならないので、境界の項は一般には残る。これを打ち消すために、境界の外的曲率のトレース $K$ を境界の体積要素で積分した項を作用に足す。係数の大きさは $c^3/(8\pi G)$ で、符号は $S_{\mathrm g}$ の符号と法線の向きの約束で決まる。この項を Gibbons–Hawking の境界項と呼ぶ（J. W. York (1972), Phys. Rev. Lett. 28, 1082；G. W. Gibbons, S. W. Hawking (1977), Phys. Rev. D 15, 2752）。この章では結果だけを使う。境界の項を正しく足すと、境界で計量だけを固定した変分問題が意味を持ち、場の方程式は下の 2.15.3節のものになる。この境界項は、ブラックホールのエントロピーを Euclid 作用から出す計算（第5部第12章）で値を持つ。