この章のまとめ

(1) $x^0=ct$ で $g_{00}=1$、$g_{ij}=-a^2\delta_{ij}$。0でない Christoffel 記号は $\Gamma^0{}_{ij}=\frac{a\dot a}{c}\delta_{ij}$、$\Gamma^i{}_{0j}=\frac{\dot a}{ca}\delta^i{}_j$ である（$\Gamma^0{}_{ij}=-\frac12g^{00}\partial_0g_{ij}=\frac{1}{2c}\partial_t(a^2)\delta_{ij}$、$\Gamma^i{}_{0j}=\frac12g^{ik}\partial_0g_{kj}=\frac{\dot a}{ca}\delta^i{}_j$）。これらを Ricci テンソルの定義に入れると $R_{00}=-\frac{3\ddot a}{c^2a}$、$R_{ij}=\frac{a\ddot a+2\dot a^2}{c^2}\delta_{ij}$ で、$R=R_{00}-\frac{1}{a^2}\sum_iR_{ii}=-\frac{3\ddot a}{c^2a}-\frac{3(a\ddot a+2\dot a^2)}{c^2a^2}=-\frac{6(a\ddot a+\dot a^2)}{c^2a^2}$。$G_{00}=R_{00}-\frac12R=-\frac{3\ddot a}{c^2a}+\frac{3(a\ddot a+\dot a^2)}{c^2a^2}=\frac{3\dot a^2}{c^2a^2}$、$G_{ij}=R_{ij}+\frac{a^2}{2}R\,\delta_{ij}=\frac{a\ddot a+2\dot a^2-3a\ddot a-3\dot a^2}{c^2}\delta_{ij}=-\frac{2a\ddot a+\dot a^2}{c^2}\delta_{ij}$。$\Lambda>0$ の de Sitter（$a=\mathrm{e}^{Ht}$）では $R=-12H^2/c^2$ で、正定値の計量の球面の $R>0$ とは逆の符号になる。(+,−,−,−) で空間の部分を負に取っているためである（記法の正本 §4）。

(2) 塵の $T_{00}=\rho c^2$、$T_{ij}=0$。$00$ 成分：$\frac{3\dot a^2}{c^2a^2}-\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2$ から $H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho+\frac{\Lambda c^2}{3}$。$ij$ 成分：$-\frac{2a\ddot a+\dot a^2}{c^2}\delta_{ij}-\Lambda(-a^2\delta_{ij})=0$ から $\frac{2\ddot a}{a}+H^2=\Lambda c^2$。第1式は例題 2.15.3 で $N$ の方程式として出したものと同じである。

(3) 例題 2.15.4 で $P=0$ とすると $\dot\rho+3H\rho=0$、つまり $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\rho a^3)=a^3(\dot\rho+3H\rho)=0$。第1式を時間微分すると $2H\dot H=\frac{8\pi G}{3}\dot\rho=-8\pi GH\rho$、$\dot H=\frac{\ddot a}{a}-H^2$ なので $\frac{\ddot a}{a}=H^2-4\pi G\rho$。第1式で $\rho$ を消すと $4\pi G\rho=\frac32(H^2-\frac{\Lambda c^2}{3})$ だから $\frac{\ddot a}{a}=-\frac12H^2+\frac{\Lambda c^2}{2}$ で、第2式と一致する。$ij$ 成分の方程式が $00$ 成分と保存則から出ることは、2.15.4節の恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ の表れである。

(4) 第2式と第1式から $\frac{\ddot a}{a}=\frac12(\Lambda c^2-H^2)=\frac12\Bigl(\Lambda c^2-\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{\Lambda c^2}{3}\Bigr)=-\frac{4\pi G}{3}\rho+\frac{\Lambda c^2}{3}$。第1項は Newton の引力で、第2項は 2.15.5節の距離に比例する斥力 $\frac{\Lambda c^2}{3}r$ そのものである。今の値を $H_0^2$ で割ると $q_0=-\frac{\ddot a}{aH_0^2}=\frac{\Omega_{\mathrm m}}{2}-\Omega_\Lambda=0.1575-0.685=-0.528$ で、今の膨張は加速している。$\rho\propto a^{-3}=(1+z)^3$ なので、$\ddot a=0$ は $\frac{\Omega_{\mathrm m}}{2}(1+z)^3=\Omega_\Lambda$、$z=\Bigl(\frac{2\times0.685}{0.315}\Bigr)^{1/3}-1=0.632$。これより前（$z>0.632$）は減速していた。

(5) $\tau\coloneqq\frac32\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0t$、$A\coloneqq(\Omega_{\mathrm m}/\Omega_\Lambda)^{1/3}$ とおくと $a=A\sinh^{2/3}\tau$、$H=\frac{\dot a}{a}=\frac23\coth\tau\cdot\frac32\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0=\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0\coth\tau$。右辺は $H_0^2\bigl(\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+\Omega_\Lambda\bigr)=H_0^2\Omega_\Lambda\bigl(\sinh^{-2}\tau+1\bigr)=H_0^2\Omega_\Lambda\coth^2\tau$ で、左辺 $H^2$ と一致する（$\rho=\rho_0a^{-3}$ を使った）。$a=1$ は $\sinh\tau_0=\sqrt{\Omega_\Lambda/\Omega_{\mathrm m}}$ のときで、$H_0t_0=\frac{2}{3\sqrt{\Omega_\Lambda}}\operatorname{arsinh}\sqrt{\Omega_\Lambda/\Omega_{\mathrm m}}=0.951$。$1/H_0=14.5\,\mathrm{Gyr}$ なので $t_0=13.8\,\mathrm{Gyr}$ である。$t\to\infty$ で $\coth\tau\to1$、$H_\infty=\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0=c\sqrt{\Lambda/3}=55.8\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ で、$a\propto\mathrm{e}^{H_\infty t}$ の de Sitter 宇宙に近づく。そのとき物質は薄まり、式 (2.15.12) のトレースから $R_\infty=-4\Lambda=-4.36\times10^{-52}\,\mathrm{m^{-2}}$ になる。図 2.15.3 に $a(t)$ を物質だけの宇宙と比べて示した。