この章のまとめ

(1) 遠方で静止していたので $\tilde E=c^2$、まっすぐ落ちるので $\ell=0$。(2.17.3) から $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}=\frac{1}{1-r_{\mathrm s}/r}$、(2.17.4) から $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}=-c\sqrt{r_{\mathrm s}/r}$（(2.17.5)）。

(2) (2.17.6) で、$r_{\mathrm s}=2.953\times10^4\,\mathrm m$、$r_{\mathrm s}/c=9.85\times10^{-5}\,\mathrm s$ である。$10r_{\mathrm s}\to r_{\mathrm s}$：$\tau=\frac{2r_{\mathrm s}}{3c}(10^{3/2}-1)=\frac23\times9.85\times10^{-5}\times30.62\,\mathrm s=2.01\,\mathrm{ms}$。$r_{\mathrm s}\to0$：$\tau=\frac{2r_{\mathrm s}}{3c}=65.7\,\mu\mathrm s$。後者は例題 2.17.3 の上限 $155\,\mu\mathrm s$ より短く、遠方から落ちてきた A は地平面を速さを持って横切るぶん、内側で過ごす時間が短い。

(3) $cv=ct+r^*$ を $\tau$ で微分すると $c\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} \tau}=c\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}+\frac{1}{1-r_{\mathrm s}/r}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}=\frac{c-c\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}{1-r_{\mathrm s}/r}$。$1-r_{\mathrm s}/r=(1-\sqrt{r_{\mathrm s}/r})(1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r})$ で約分すると

$$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} \tau}=\frac{1}{1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}$$

で、$r=r_{\mathrm s}$ で $1/2$ と有限である。$t$ では発散した A の世界線が、$v$ では地平面を有限の値で横切る。

(4) 外向きの光の波数 $k_\mu$ の時間成分 $k_0$ は、Killing ベクトル $\partial_t$ の保存量なので光線に沿って一定で、遠方の B が測る振動数は $\omega_\infty=ck_0$ である。外向きの光の条件 $g^{\mu\nu}k_\mu k_\nu=0$ から $k_r=-\frac{k_0}{1-r_{\mathrm s}/r}$（$x^0=ct$ の成分で書いた）。A が測る振動数は $\omega_{\mathrm{em}}=k_\mu u^\mu=k_0\,c\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}+k_r\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}$（$u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}$）なので、(1) を入れて

$$\omega_{\mathrm{em}}=\frac{ck_0}{1-r_{\mathrm s}/r}+\frac{k_0}{1-r_{\mathrm s}/r}\,c\sqrt{\frac{r_{\mathrm s}}{r}}=\omega_\infty\frac{1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}{1-r_{\mathrm s}/r}=\frac{\omega_\infty}{1-\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}, \qquad \frac{\omega_\infty}{\omega_{\mathrm{em}}}=1-\sqrt{\frac{r_{\mathrm s}}{r}} .$$

静止した光源の重力赤方偏移は 第2部第11章のとおり $\sqrt{g_{00}}=\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}$、速さ $v$ で遠ざかる光源の Doppler 因子は $\sqrt{(1-v/c)/(1+v/c)}$ で、$v/c=\sqrt{r_{\mathrm s}/r}$ とすると

$$\sqrt{1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}}\sqrt{\frac{1-\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}{1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}}=\sqrt{\bigl(1-\sqrt{r_{\mathrm s}/r}\bigr)\bigl(1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r}\bigr)}\sqrt{\frac{1-\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}{1+\sqrt{r_{\mathrm s}/r}}}=1-\sqrt{\frac{r_{\mathrm s}}{r}}$$

と一致する。$r=4r_{\mathrm s}$ で $1-1/2=0.5$、$r=1.01r_{\mathrm s}$ で $1-1/\sqrt{1.01}=0.00496$。地平面に近づくと比は $0$ に向かい、B に届く光は限りなく赤くなる。例題 2.17.5 の指数関数的な引き延ばしと合わせると、B が見る A は赤く暗くなりながら地平面の手前で止まって見える。

(5) 位置 $r$ に静止した観測者の正規直交系では、時間の目盛りが $\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}\,c\,\mathrm{d} t$、動径の目盛りが $\mathrm{d} r/\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}$ なので、その観測者が測る A の速さは

$$\frac{\lvert v\rvert }{c}=\frac{\lvert \mathrm{d} r/\mathrm{d}\tau\rvert /\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}}{c\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau}=\frac{c\sqrt{r_{\mathrm s}/r}\,(1-r_{\mathrm s}/r)^{-1/2}}{c\,(1-r_{\mathrm s}/r)^{1/2}(1-r_{\mathrm s}/r)^{-1}}=\sqrt{\frac{r_{\mathrm s}}{r}} .$$

$c\sqrt{r_{\mathrm s}/r}=\sqrt{2GM/r}$ は、Newton 力学で無限遠から静止状態で落ちた物体の速さ（脱出速度）と同じ式で、$r=r_{\mathrm s}$ で $c$ に達する。ただし $r=r_{\mathrm s}$ には静止した観測者がいられない（固有加速度が発散する）ので、「地平面で光速に達する」は静止観測者の極限としての言い方である。