授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第17章 §2.17.6　★★ 脱出速度・中心力の有効ポテンシャル・一様加速系という学部の3つの形が、それぞれ地平面・最内安定円軌道・地平面の近くの幾何と対応する

脱出速度が $c$ になる半径

Newton 力学では、質量 $M$ の天体の表面 $r$ からの脱出速度は $v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2GM/r}$ で、これが $c$ になる半径は

$$\frac12mc^2=\frac{GMm}{r}\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2GM}{c^2}=r_{\mathrm s}$$

と、Schwarzschild 半径にちょうど一致する。18世紀の末に Michell と Laplace が「光も逃げられない星」として考えたのはこの式である。一致は偶然でなく、(2.17.5) の $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}=-c\sqrt{r_{\mathrm s}/r}$ は、Newton の自由落下 $\dot r=-\sqrt{2GM/r}$ と同じ式である（総合問題で、静止観測者が測る落下の速さも同じ式になることを確かめる）。ただし意味は違う。Newton の場合、光は上がってから落ちてくるだけで、近くの観測者には届く。一般相対論の地平面では、外向きに出した光が (2.17.14) のとおりその場に留まり、すぐ外にいる観測者にも届かない。地平面は「遅い光が戻ってくる面」ではなく、因果の境界である。

中心力の有効ポテンシャル

Newton の中心力の問題（第2部第1章）では、単位質量あたり

$$\frac12\dot r^2+\Bigl(-\frac{GM}{r}+\frac{\ell^2}{2r^2}\Bigr)=\epsilon_{\mathrm N}$$

で、遠心力の項 $\ell^2/(2r^2)$ が $r\to0$ で $-GM/r$ より速く発散するので、$\ell\neq0$ の粒子は中心に落ちない。円軌道は $\ell^2=GMr$ で、どの半径でも安定である。一般相対論の (2.17.21) は、ここに $-GM\ell^2/(c^2r^3)$ を足しただけだが、この項は $r\to0$ で遠心力の項より速く発散し、遠心力による斥力を上回る。その結果、円軌道の角運動量の式は $\ell^2=GMr$ から (2.17.22) の $\ell^2=GMr/(1-3GM/(c^2r))$ に変わり、安定な円軌道は $r\ge6GM/c^2$ に限られる。Newton の式は $3GM/(c^2r)\ll1$ の極限である。

一様加速系と地平面の近く

第2部第11章の Rindler 座標では、平坦な時空を一様に加速する観測者の目盛りで書いて

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(\frac{a\rho}{c^2}\Bigr)^2c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d}\rho^2\qquad(\text{横の2方向は省略})\tag{2.17.27}$$

を得た。$\rho$ は加速の向きの固有の距離で、$\rho=0$ が Rindler の地平面である。計量の $g_{00}$ は $\rho=0$ で $0$ になるが、時空は平坦な Minkowski 時空そのもので、$\rho=0$ は座標の特異点である。

Schwarzschild 時空の地平面の近くは、この形と一致する。地平面からの固有の距離を $\rho$ とし、$r=r_{\mathrm s}+\rho^2/(4r_{\mathrm s})$ とおくと

$$1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}=\frac{\rho^2}{4r_{\mathrm s}^2}+\mathcal{O}\Bigl(\frac{\rho^4}{r_{\mathrm s}^4}\Bigr),\qquad \frac{\mathrm{d} r^2}{1-r_{\mathrm s}/r}=\Bigl(1+\frac{\rho^2}{4r_{\mathrm s}^2}\Bigr)\mathrm{d}\rho^2$$

なので、$\rho\ll r_{\mathrm s}$ では

$$\mathrm{d} s^2\approx\Bigl(\frac{\kappa\rho}{c^2}\Bigr)^2c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d}\rho^2-r_{\mathrm s}^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2),\qquad \kappa=\frac{c^2}{2r_{\mathrm s}}\tag{2.17.28}$$

となる。第5部第12章と相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部では、地平面からの固有の距離をこの $\rho$ の代わりに $\varrho$ と書く。$t$-$\rho$ 部分は加速度 $a=\kappa$ の Rindler 計量 (2.17.27) で、角度の部分は半径 $r_{\mathrm s}$ のほぼ平らな球面である。地平面のすぐ外に静止している観測者は、その場で平坦な時空を一様に加速している観測者と区別がつかない（等価原理）。地平面の座標の特異点が Rindler の地平面と同じ種類のものであること、Kruskal 座標の $(T,X)$ が Rindler に対する Minkowski 座標に当たることがここから分かる。$\rho$ の位置に静止するための固有加速度は $c^2/\rho$ で、地平面に近づくと発散するが、遠方の時計で測り直した値 $\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}\times(\text{固有加速度})$ は $\kappa$ に近づく。これが $\kappa$ を表面重力と呼ぶ理由である。