出てくるもの（3）：光子球・最内安定円軌道・ブラックホールの影

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第17章 §2.17.5　★★★ 第2部第16章の有効ポテンシャルを $r\lesssim3r_{\mathrm s}$ まで追うと、光の円軌道 $3GM/c^2$、安定な円軌道の内側の端 $6GM/c^2$、影の半径 $3\sqrt3\,GM/c^2$ が出る

質量のある粒子の円軌道

$r=r_{\mathrm s}x$、$\ell=c\,r_{\mathrm s}\lambda$ とおくと、(2.17.4) は

$$\frac{1}{c^2}\Bigl(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2=\frac{\tilde E^2}{c^4}-\mathcal V(x),\qquad \mathcal V(x)=\Bigl(1-\frac1x\Bigr)\Bigl(1+\frac{\lambda^2}{x^2}\Bigr)=1-\frac1x+\frac{\lambda^2}{x^2}-\frac{\lambda^2}{x^3}\tag{2.17.21}$$

と書ける。最初の3項は Newton の重力と遠心力のポテンシャルに当たり、最後の $-\lambda^2/x^3$ が一般相対論の補正である（第2部第16章）。この項は $x$ が小さいと遠心力の項 $\lambda^2/x^2$ より大きくなり、遠心力による斥力の山の内側を負の側へ引き下げる。

円軌道は $\mathcal V'(x)=0$ の点で、その角運動量は 第2部第16章の例題 2.16.2 で求めた $\ell^2=GMr/(1-3GM/(c^2r))$ である。この章の変数で書き直すと

$$\lambda^2=\frac{x^2}{2x-3},\qquad\text{すなわち}\quad \ell^2=\frac{c^2r_{\mathrm s}r^2}{2r-3r_{\mathrm s}}=\frac{GMr}{1-3GM/(c^2r)}\tag{2.17.22}$$

である。$x>3/2$ でしか $\lambda^2>0$ にならないので、質量のある粒子の円軌道は $r>1.5r_{\mathrm s}$ にしか無い。$\mathcal V'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{2\lambda^2}{x^3}+\frac{3\lambda^2}{x^4}$ なので、与えられた $\lambda$ について $\mathcal V'(x)=0$ は $x^2-2\lambda^2x+3\lambda^2=0$ で、その根は$x_\pm=\lambda^2\bigl(1\pm\sqrt{1-3/\lambda^2}\bigr)$ である。$x_+$ が極小（安定な円軌道）、$x_-$ が極大（不安定な円軌道）で、2つの根は $\lambda^2=3$ で $x=3$ に重なり、$\lambda^2<3$ では円軌道が無い（図 2.17.4）。したがって安定な円軌道は

$$r\ge3r_{\mathrm s}=\frac{6GM}{c^2}\tag{2.17.23}$$

に限られる。この内側の端を最内安定円軌道（ISCO）と呼ぶ。第2部第16章の2.16.7節の総合問題 (5) では、円軌道のまわりの動径の振動数が $0$ になる半径として同じ値を出した。ここでは極小と極大が重なる点、つまり有効ポテンシャルの変曲点として出した。円軌道のエネルギーは (2.17.22) を $\mathcal V$ に入れて$\tilde E^2/c^4=\frac{2(x-1)^2}{x(2x-3)}$ で、ISCO（$x=3$）では $\tilde E=\sqrt{8/9}\,c^2=0.943\,c^2$ である。

ISCO は降着円盤の内側の縁の目安になる。ガスは円盤の中で角運動量を外へ渡しながらゆっくり内側の円軌道へ移り、ISCO に着くと安定な円軌道が無くなるので、そこから先はすぐに落ちる。遠方で静止していたガスが ISCO まで来る間に放出できるエネルギーは、静止エネルギーの $1-\sqrt{8/9}=5.7\%$ である。円軌道の角速度は 第2部第16章の総合問題で示したとおり遠方の時計で $\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d} t=\sqrt{GM/r^3}$ で、$M=10M_\odot$ の ISCO の公転周期は $2\pi\sqrt{(3r_{\mathrm s})^3/(GM)}=4.5\,\mathrm{ms}$ である。

光子球

光では (2.17.2) の右辺が $0$ になり、アフィン径数 $\sigma$ で

$$\frac{1}{\ell^2}\Bigl(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \sigma}\Bigr)^2=\frac{1}{b^2}-\frac{1}{r^2}\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr),\qquad b\coloneqq\frac{c\,\ell}{\tilde E}\tag{2.17.24}$$

となる。$b$ は遠方での光の衝突径数（直進したときに中心から外れる距離）である。右辺の第2項 $W(r)\coloneqq(1-r_{\mathrm s}/r)/r^2$ を光の有効ポテンシャルと見ると、$W'(r)=0$ から極大は

$$r=\frac32r_{\mathrm s}=\frac{3GM}{c^2},\qquad W_{\max}=\frac{4}{27r_{\mathrm s}^2}\tag{2.17.25}$$

にある。この半径の球面を光子球と呼び、光がちょうど円を描いて回れる（ただし極大なので不安定な）軌道がある。$1/b^2>W_{\max}$ の光は山を越えて地平面に落ち、$1/b^2<W_{\max}$ の光は山で跳ね返されて遠方へ戻る。境目の臨界衝突径数は

$$b_{\mathrm c}=\frac{1}{\sqrt{W_{\max}}}=\frac{3\sqrt3}{2}r_{\mathrm s}=3\sqrt3\,\frac{GM}{c^2}\approx2.60\,r_{\mathrm s}\tag{2.17.26}$$

である。

ブラックホールの影

ブラックホールの後ろに明るい光源が広がっているとする。観測者から光を時間を逆にたどると、衝突径数 $b<b_{\mathrm c}$ の光線はブラックホールに落ちて光源まで届かない。したがって観測者には、半径 $b_{\mathrm c}$ の円の内側が暗く見える。これがブラックホールの影で、その半径は地平面の半径 $r_{\mathrm s}$ の $2.6$ 倍ある。光が重力で曲げられて、地平面より大きく見えるのである。距離 $D$ から見た影の角直径は $2b_{\mathrm c}/D$ である。

1　The Event Horizon Telescope Collaboration, Astrophys. J. Lett. 875, L1 (2019).