この章のまとめ

(1) $L$ は $t$ と $\varphi$ を含まないので、Euler–Lagrange 方程式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot t}=\frac{\partial L}{\partial t}=0$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot\varphi}=0$ から$\frac{\partial L}{\partial \dot t}=(1-r_{\mathrm s}/r)c^2\dot t=\tilde E$ と $-\frac{\partial L}{\partial \dot\varphi}=r^2\dot\varphi=\ell$ が一定である（第1部第10章の循環座標の Noether の定理）。円軌道は例題 2.16.2 の (1) より $\ell^2=GMr/(1-3x)$。$\omega_\varphi=\ell/r^2$ なので

$$\omega_\varphi^2=\frac{\ell^2}{r^4}=\frac{GM}{r^3}\frac{1}{1-3x}.$$

(2) 規格化 (2.16.11) を $\dot t^2$ で割ると、円軌道（$\dot r=0$）では $(1-2x)c^2-r^2\Omega^2=c^2(\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t)^2$。例題 2.16.2 の (2) の $\Omega^2=GM/r^3$、つまり $r^2\Omega^2=c^2x$ を入れて $(\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t)^2=1-3x$。このうち $2x$ は重力の位置による遅れ（第2部第11章の重力赤方偏移）、$x$ は速さ $v^2=GM/r$ による特殊相対論の遅れである。地球の軌道では $x=1476.6/1.495979\times10^{11}=9.871\times10^{-9}$ で、$1-\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t\approx\frac32x=1.481\times10^{-8}$。1年で $1.481\times10^{-8}\times3.15576\times10^7=0.467\,\mathrm s$ 遅れる。

(3) $V_{\mathrm{eff}}''(r)=-\frac{2GM}{r^3}+\frac{3\ell^2}{r^4}-\frac{12GM\ell^2}{c^2r^5}$。$\ell^2/r^4=\frac{GM}{r^3}\frac{1}{1-3x}$ を入れると

$$\kappa^2=V_{\mathrm{eff}}''(r)=\frac{GM}{r^3}\Bigl[-2+\frac{3-12x}{1-3x}\Bigr]=\frac{GM}{r^3}\frac{1-6x}{1-3x}.$$

(1) の $\omega_\varphi^2$ で割ると $\kappa^2/\omega_\varphi^2=1-6x$ で、近似を使っていない。Newton の場合（$x\to0$）は $\kappa=\omega_\varphi$ で、動径の振動1回と公転1回が同じ時間で終わるので軌道が閉じる（第1部第8章の $\omega_r=\omega_\theta$）。

(4) 動径の振動の1周期 $2\pi/\kappa$ の間に $\varphi$ は $2\pi\omega_\varphi/\kappa=2\pi(1-6x)^{-1/2}$ 進む。近日点から近日点までの角度がこれなので、1周あたりの進みは $2\pi[(1-6x)^{-1/2}-1]\approx6\pi x$。$e\to0$ で $a(1-e^2)\to r$ なので (2.16.21) は $6\pi GM/(c^2r)=6\pi x$ となり一致する。地球の軌道では1周に $0.0384''$、1 世紀に $100.0$ 周するので $3.84''$ である。

(5) $\kappa^2<0$ となるのは $1-6x<0$、すなわち $r<6GM/c^2=3r_{\mathrm s}$。この内側では円軌道のまわりの小さなずれが指数関数的に増え、円軌道は不安定になる。$r=6GM/c^2$ は安定な円軌道の最も内側（最内安定円軌道）で、第2部第17章で扱う。$1.4M_\odot$ の中性子星では $6\times1.4\times1476.6\,\mathrm m=12.4\,\mathrm{km}$ で、太陽では $8.9\,\mathrm{km}$ と太陽の内部に埋もれて意味を持たない。