授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第16章 §2.16.6　★★ 学部の一般相対論入門の「3つの検証」の公式と、Newton の Binet の式・光の粒子の曲がり・PPN の係数を、この章の式と並べる

学部の一般相対論の入門では、Schwarzschild 計量を与えたうえで、太陽系の検証を次の3つの公式として覚えることが多い。

$$\Delta\varphi_{\text{1周}}=\frac{6\pi GM}{c^2a(1-e^2)},\qquad \vartheta=\frac{4GM}{c^2b},\qquad \Delta t=\frac{2GM}{c^3}\ln\frac{4r_1r_2}{b^2}.$$

この章では、この3つを1つの筋で出した。計量は $R_{\mu\nu}=0$ の解として決まり（2.16.1 節）、粒子の運動は $L=\frac12g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ のEuler–Lagrange 方程式で、Noether の定理で2つの保存量を取り出すと有効ポテンシャル (2.16.14) の1次元運動になる（2.16.2 節）。3つの公式の違いは、どの近似でどの量を取り出すかだけである。

Newton の Binet の式との対応

Newton の力学で中心力 $F(r)$ を受ける粒子の軌道は、$u=1/r$ について Binet の式

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}+u=-\frac{F(1/u)}{m\ell^2u^2}$$

に従う。万有引力 $F=-GMm/r^2$ では右辺は定数 $GM/\ell^2$ になる。一般相対論の (2.16.16) は、ここに $3GMu^2/c^2$ を足したもので、Newton の言葉に直せば、引力 $-GMm/r^2$ に $-3GMm\ell^2/(c^2r^4)$ を足したことに当たる。この力は角運動量 $\ell$ に比例し、Newton の重力の法則のように物体の位置だけでは決まらない。ポテンシャルで書けば (2.16.14) の $-GM\ell^2/(c^2r^3)$ である。

第2部第1章では、ポテンシャルに $1/r^2$ に比例する小さな項を足すと近日点が1周に $2\pi(1/\nu-1)$ 進むことを示した。そこでの $1/r^2$ の項は遠心力の項と同じ形なので、軌道の式の $u$ の係数を変えるだけである。一般相対論の項は $1/r^3$ で、軌道の式では $u^2$ の項になる。円に近い軌道では、どちらの場合も「動径方向の振動の振動数 $\kappa$ と公転の振動数がずれる」ことが近日点の進みの正体である（総合問題の (3)）。

光を Newton の粒子として曲げると半分になる

PPN の係数との対応

観測の論文では、一般相対論以外の重力理論とまとめて比べるために、弱い場の計量を$g_{00}\approx1+2\Phi/c^2+2\beta_{\mathrm{PPN}}\Phi^2/c^4$、$g_{ij}\approx-(1-2\gamma\Phi/c^2)\delta_{ij}$ と2つの係数で書く（パラメータ化ポスト Newton〔PPN〕形式）。一般相対論は $\gamma=\beta_{\mathrm{PPN}}=1$ である（$\beta_{\mathrm{PPN}}$ はレンズの角 $\beta$ と別のものなので添字を付けた）。屈折率は $n=1-(1+\gamma)\Phi/c^2$ になるので、光の曲がりと Shapiro 遅延は一般相対論の値の $(1+\gamma)/2$ 倍、近日点移動は $(2+2\gamma-\beta_{\mathrm{PPN}})/3$ 倍になる。光の曲がりが $\gamma$ だけを、近日点移動が $\gamma$ と $\beta_{\mathrm{PPN}}$ を測ることになる。2.16.4 節・2.16.5 節で引いた $\gamma$ の値はこの係数である。