光の曲がり：曲がった時空の Fermat の原理

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第16章 §2.16.4　★★★ 光の軌道の式から曲がり角 $4GM/(c^2b)$ を出し、同じ値を屈折率 $n=1+2GM/(c^2r)$ の Fermat の原理からも出す。太陽の縁で $1.75''$

光の軌道の式を摂動で解く

光の軌道 (2.16.17) で右辺を 0 とおくと、解は $u_0=\sin\varphi/b$、つまり $r\sin\varphi=b$ の直線である。$b$ は直線と中心との距離（衝突径数）で、(2.16.15) の定数との関係は $1/b^2=\tilde E^2/(c^2\ell^2)$ である。光は $\varphi=0$ の方向の無限遠から来て、$\varphi=\pi$ の方向の無限遠へ去る。

右辺 $3GMu^2/c^2$ に $u_0$ を入れた1次の補正 $u_1$ は

$$\frac{\mathrm{d}^2u_1}{\mathrm{d}\varphi^2}+u_1=\frac{3GM}{c^2b^2}\sin^2\varphi=\frac{3GM}{2c^2b^2}(1-\cos2\varphi)$$

を満たす。今度は右辺に $\cos\varphi$ が無いので永年項は出ず、特解は定数と $\cos2\varphi$ の和で

$$u_1=\frac{GM}{c^2b^2}\bigl(1+\cos^2\varphi\bigr)\tag{2.16.22}$$

である（$A+B\cos2\varphi$ とおいて $A=3GM/(2c^2b^2)$、$-3B=-3GM/(2c^2b^2)$ から $B=GM/(2c^2b^2)$。$\frac32+\frac12\cos2\varphi=1+\cos^2\varphi$）。

光が無限遠へ去る方向は $u=0$ で決まる。補正があると $u=0$ の点は $\varphi=0$ と $\pi$ からずれ、$\varphi=-\vartheta_1$（$\vartheta_1$ は小さい）で

$$0=u_0+u_1\approx-\frac{\vartheta_1}{b}+\frac{2GM}{c^2b^2}\quad\Longrightarrow\quad\vartheta_1=\frac{2GM}{c^2b}$$

となる。$\varphi=\pi+\vartheta_1$ の側も対称に同じだけずれる。入ってくる向きと出ていく向きのなす角、つまり光の曲がり角は

$$\vartheta=2\vartheta_1=\frac{4GM}{c^2b}=\frac{2r_{\mathrm s}}{b}\tag{2.16.23}$$

である。光は質量の側へ曲がる。

Fermat の原理で読む

同じ結果を、第2部第10章の光線の解析力学から出す。弱い場では、記法の正本の式$g_{00}\approx1+2\Phi/c^2$、$g_{ij}\approx-(1-2\Phi/c^2)\delta_{ij}$ が使える（$\Phi=-GM/r$）。Schwarzschild 計量 (2.16.10) の $r$ を $r=\rho(1+r_{\mathrm s}/(4\rho))^2$ と取り直すと、空間部分が $\mathrm{d}\rho$ の向きによらない形になり、$r_{\mathrm s}/\rho$ の1次でこの弱い場の式に一致する（等方座標）。光は $\mathrm{d} s^2=0$ を満たすので、

$$\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2=\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\lvert \mathrm{d}\bm{x}\rvert ^2 \quad\Longrightarrow\quad c\,\mathrm{d} t\approx\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\lvert \mathrm{d}\bm{x}\rvert$$

である。座標時で測った光の速さは $c/n$ で、

$$n(\bm{x})=1-\frac{2\Phi(\bm{x})}{c^2}=1+\frac{2GM}{c^2r}\tag{2.16.24}$$

の屈折率を持つ媒質と同じになる。光の進路は Fermat の原理、つまり $\int n\,\mathrm{d} s$ の停留で決まる（第2部第10章）。屈折率がゆっくり変わる媒質を直線に近い経路で進む光線は、経路に垂直な屈折率の勾配の向きに曲がり、その角度は$\vartheta\approx\int\nabla_\perp n\,\mathrm{d} z$ である。直線 $x=b$ に沿って $z$ で積分すると

$$\vartheta=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2GM}{c^2}\frac{b}{(b^2+z^2)^{3/2}}\,\mathrm{d} z=\frac{2GM}{c^2}\cdot\frac{2}{b}=\frac{4GM}{c^2b}\tag{2.16.25}$$

となり、(2.16.23) と一致する。

この書き方では、(2.16.24) の $2\Phi/c^2$ のうち半分が $g_{00}$（時計の進み方の違い。第2部第11章の重力赤方偏移と同じもの）から、残りの半分が $g_{ij}$（空間の曲がり）から出ている。光の速さを持つ Newton の粒子を太陽のそばで曲げても、$g_{00}$ の半分しか出ない（2.16.6 節）。光の曲がりを測ることは、空間部分の計量 $g_{ij}$ を直接測ることに当たる。

観測

太陽の縁をかすめる光（$b=R_\odot$）では (2.16.23) は $1.75''$ になる。最初の観測は 1919 年5月の皆既日食で、Sobral（ブラジル）の 4 インチ望遠鏡の乾板から $1.98''$、Príncipe 島の乾板から $1.61''$ が得られた¹1F. W. Dyson, A. S. Eddington, C. Davidson (1920), Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 220, 291–333.下の脚注へ閉じる。いまの精度は電波干渉計（VLBI）による。遠方の電波源（クエーサー）の見かけの位置が太陽に近づくにつれてずれる量を全天で測り、後で述べる係数 $\gamma$（一般相対論で 1）を $\gamma=0.99983\pm0.00045$ と決めている²2S. S. Shapiro, J. L. Davis, D. E. Lebach, J. S. Gregory (2004), Physical Review Letters 92, 121101.下の脚注へ閉じる。

1　F. W. Dyson, A. S. Eddington, C. Davidson (1920), Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 220, 291–333.

2　S. S. Shapiro, J. L. Davis, D. E. Lebach, J. S. Gregory (2004), Physical Review Letters 92, 121101.