Shapiro 遅延と重力レンズ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第16章 §2.16.5　★★ 同じ屈折率 $n=1+2GM/(c^2r)$ から、光の到着の遅れ（Shapiro 遅延）と、像の位置と増光（重力レンズ）を出す

光の到着の遅れ

(2.16.24) の屈折率は、光の進路を曲げるだけでなく、光が届くまでの時間も延ばす。直線の経路（曲がりの効果は時間に対して2次）に沿って$\mathrm{d} t=n\,\mathrm{d} z/c$ を積分すると、平坦な時空より余計にかかる座標時は

$$\Delta t=\int_{-z_1}^{z_2}\frac{n-1}{c}\,\mathrm{d} z=\frac{2GM}{c^3}\int_{-z_1}^{z_2}\frac{\mathrm{d} z}{\sqrt{b^2+z^2}} =\frac{2GM}{c^3}\ln\frac{\bigl(z_1+\sqrt{z_1^2+b^2}\bigr)\bigl(z_2+\sqrt{z_2^2+b^2}\bigr)}{b^2}\tag{2.16.26}$$

である（$z_1$, $z_2$ は最接近点から発信点・受信点までの距離）。両端が太陽から十分遠く $z_{1,2}\approx r_{1,2}\gg b$ なら

$$\Delta t\approx\frac{2GM}{c^3}\ln\frac{4r_1r_2}{b^2}=\frac{r_{\mathrm s}}{c}\ln\frac{4r_1r_2}{b^2}\tag{2.16.27}$$

となる。対数の中の量は座標の取り方で $\mathcal{O}(1)$ だけ変わるが、$b$ を変えたときの $\Delta t$ の変化、つまり惑星が太陽の向こう側を通る前後の時間変化は座標によらない。I. I. Shapiro はこれを「一般相対論の第4の検証」として、金星や水星にレーダー波を当てて往復時間を測ることを提案した¹1I. I. Shapiro (1964), Physical Review Letters 13, 789–791.下の脚注へ閉じる。最も精密な測定は、土星へ向かう探査機 Cassini との電波の往復で、$\gamma-1=(2.1\pm2.3)\times10^{-5}$ を得ている²2B. Bertotti, L. Iess, P. Tortora (2003), Nature 425, 374–376.下の脚注へ閉じる。

重力レンズ

光の曲がり (2.16.23) を、遠い光源と観測者の間に置かれた質量（レンズ）に当てる。観測者からレンズまでの距離を $D_{\mathrm l}$、光源までを $D_{\mathrm s}$、レンズから光源までを $D_{\mathrm{ls}}$ とする。角度はすべて小さいとし、曲がりはレンズの位置で一度に起きるとみなす（薄いレンズの近似）。光源の本当の方向を $\beta$、像の見える方向を $\theta$（どちらもレンズの方向から測る）とすると、光はレンズの位置で衝突径数 $b=D_{\mathrm l}\theta$ を通って $\vartheta=4GM/(c^2D_{\mathrm l}\theta)$ だけ曲がる。光源の面での位置のずれを比べて

$$\beta=\theta-\frac{\theta_{\mathrm E}^2}{\theta},\qquad \theta_{\mathrm E}^2\coloneqq\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{\mathrm{ls}}}{D_{\mathrm l}D_{\mathrm s}}\tag{2.16.28}$$

を得る。これをレンズ方程式と呼ぶ。$\theta$ の2次方程式 $\theta^2-\beta\theta-\theta_{\mathrm E}^2=0$ なので、像は

$$\theta_\pm=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^2+4\theta_{\mathrm E}^2}}{2}\tag{2.16.29}$$

の2つできる。$\theta_+$ はレンズから見て光源と同じ側、$\theta_-$（負）は反対側に見える。光源がレンズの真後ろ（$\beta=0$）にあると、軸のまわりの対称性から像は半径 $\theta_{\mathrm E}$ の輪になる（Einstein リング）。1979 年には、約 $6''$ 離れて並ぶ2つのクエーサーのスペクトルが同じであることから、1つのクエーサーの2つの像であることが見つかった³3D. Walsh, R. F. Carswell, R. J. Weymann (1979), Nature 279, 381–384.下の脚注へ閉じる。

光の曲がりは光の面積あたりの明るさ（表面輝度）を変えない。これは Liouville の定理から出るエタンデュの保存（第2部第10章）である。したがって像の明るさの比は像の立体角の比に等しく、増光率は $\mu_\pm=\lvert \frac{\theta_\pm}{\beta}\frac{\mathrm{d} \theta_\pm}{\mathrm{d} \beta}\rvert$ で与えられる。$x\coloneqq\beta/\theta_{\mathrm E}$ とおいて2つの像の和をとると

$$\mu_{\mathrm{tot}}=\mu_++\mu_-=\frac{x^2+2}{x\sqrt{x^2+4}}\tag{2.16.30}$$

となる。銀河系の中の星がレンズになるとき、$\theta_{\mathrm E}$ はミリ秒角ほどで2つの像は分けて見えないが、レンズの星が光源の前を横切ると $x$ が時間とともに変わり、光源が一時的に明るくなる。これが重力マイクロレンズで、B. Paczyński が銀河系の暗い天体を探す方法として提案した⁴4B. Paczyński (1986), The Astrophysical Journal 304, 1–5.下の脚注へ閉じる。

1　I. I. Shapiro (1964), Physical Review Letters 13, 789–791.

2　B. Bertotti, L. Iess, P. Tortora (2003), Nature 425, 374–376.

3　D. Walsh, R. F. Carswell, R. J. Weymann (1979), Nature 279, 381–384.

4　B. Paczyński (1986), The Astrophysical Journal 304, 1–5.