出てくるもの（2）：Kruskal 座標と Penrose 図

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第17章 §2.17.4　★★ 内向きと外向きの両方の光を目盛りにすると、Schwarzschild 時空全体が4つの領域からなる1枚の図になり、時刻 $t$ の並進はその図の Lorentz ブーストになる

Kruskal 座標

Eddington–Finkelstein 座標は内向きの光だけを目盛りに使ったので、外向きの光について同じ問題が残る（$\tilde t\to-\infty$ の側に座標で覆えない領域がある）。両方の光を目盛りに使い、さらに対数の発散を指数関数で打ち消したのが Kruskal（1960）と Szekeres（1960）の座標である¹1M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960); G. Szekeres, Publ. Math. Debrecen 7, 285 (1960).下の脚注へ閉じる。$r>r_{\mathrm s}$ の領域で、無次元の座標 $(T,X)$ を

$$X=\sqrt{\frac{r}{r_{\mathrm s}}-1}\;\mathrm{e}^{r/(2r_{\mathrm s})}\cosh\frac{ct}{2r_{\mathrm s}},\qquad T=\sqrt{\frac{r}{r_{\mathrm s}}-1}\;\mathrm{e}^{r/(2r_{\mathrm s})}\sinh\frac{ct}{2r_{\mathrm s}}\tag{2.17.18}$$

で定める。これから

$$X^2-T^2=\Bigl(\frac{r}{r_{\mathrm s}}-1\Bigr)\mathrm{e}^{r/r_{\mathrm s}},\qquad \frac TX=\tanh\frac{ct}{2r_{\mathrm s}}\tag{2.17.19}$$

であり、計量は

$$\mathrm{d} s^2=\frac{4r_{\mathrm s}^3}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\mathrm s}}\bigl(\mathrm{d} T^2-\mathrm{d} X^2\bigr)-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)\tag{2.17.20}$$

になる（$r$ は (2.17.19) で $T,X$ の関数として決まる）。前の係数は $r>0$ でどこも正で有限なので、計量は $r=r_{\mathrm s}$ を含めて正則である。しかも $t$-$r$ 部分は平坦な時空の $\mathrm{d} T^2-\mathrm{d} X^2$ に正の関数を掛けた形なので、動径方向の光はいつも $T=\pm X+\text{定数}$、すなわち $45^\circ$ の線である。因果の構造を Minkowski 時空と同じ目で読める。

(2.17.19) の第1式の右辺は $r$ の単調増加関数で、$r=r_{\mathrm s}$ で $0$、$r=0$ で $-1$ である。したがって$r=r_{\mathrm s}$ は $T=\pm X$ の2本の直線、$r=0$ は双曲線 $T^2-X^2=1$、$r$ 一定の面は双曲線になる。この式は $X<0$ や $\lvert T\rvert >\lvert X\rvert$ の側にも解を持つので、$(T,X)$ 平面は4つの領域に分かれる（図 2.17.2）。領域 I（$X>\lvert T\rvert$）が元の $r>r_{\mathrm s}$、領域 II（$T>\lvert X\rvert$）がブラックホールの内側である。領域 III（$X<-\lvert T\rvert$）はもう1つの漸近的に平坦な外部、領域 IV（$T<-\lvert X\rvert$）は時間を反転した内部（ホワイトホール）である。I と III は $T=0$ の面で $r=r_{\mathrm s}$ の喉を通ってつながっている（Einstein–Rosen 橋）が、I から III へ行く時間的な世界線は無い。ただし領域 III・IV は真空の Schwarzschild 解を最大限に延ばしたときに数学的に現れるもので、星が潰れてできるブラックホールでは、星の物質が過去側を覆うので現れない。

時刻の並進は Lorentz ブースト

(2.17.18) で $t\to t+\Delta t$ とすると、$\eta\coloneqq c\Delta t/(2r_{\mathrm s})$ として

$$X\to X\cosh\eta+T\sinh\eta,\qquad T\to T\cosh\eta+X\sinh\eta$$

となる。これは $(T,X)$ 平面の Lorentz ブースト（ラピディティ $\eta$）そのものである。Schwarzschild 計量の時間の並進の対称性（Killing ベクトル $\partial_t$。第2部第12章）は、Kruskal 図の上では原点のまわりの双曲線回転になる。$t$ 一定の面が原点を通る直線になり、$t\to\pm\infty$ が地平面 $T=\pm X$ に対応するのはこのためである。ブーストの軸 $T=\pm X$ の上ではブーストは「動かない」ので、地平面の上では $\partial_t$ は光的になる。この構造は平坦な時空の Rindler 座標（第2部第11章）と同じで、2.17.6節で地平面の近くが実際に Rindler 時空に一致することを確かめる。ラピディティ $\eta=c\Delta t/(2r_{\mathrm s})$ の係数 $c/(2r_{\mathrm s})$ に $c$ を掛けた $\kappa\coloneqq c^2/(2r_{\mathrm s})=c^4/(4GM)$ を表面重力と呼び、第2部第19章と第5部第12章で中心の役を果たす。

Penrose 図

Kruskal 図も無限遠は図の外にある。無限に遠い点を有限の位置に描くために、光の座標 $U=T-X$、$V=T+X$ をそれぞれ $\tilde U=\arctan U$、$\tilde V=\arctan V$ に縮める。$\arctan$ は単調なので光の線（$U$ 一定や $V$ 一定）はそのまま $45^\circ$ の線に写り、因果の構造は保たれる。計量には正の因子が掛かるだけである。こうして描いた図を Penrose 図（共形図）と呼ぶ。

各領域の位置を確かめる。特異点 $T^2-X^2=UV=1$（$U,V>0$）は $\tan\tilde U\tan\tilde V=1$、すなわち $\tilde U+\tilde V=\pi/2$ で、縦軸 $(\tilde U+\tilde V)/2$ が一定の水平な線になる。領域 I の空間的な無限遠 $i^0$ は $U\to-\infty$、$V\to+\infty$ で $(\tilde U,\tilde V)=(-\pi/2,\pi/2)$、未来の時間的な無限遠 $i^+$ は $V\to\infty$、$U\to0^-$ で $(0,\pi/2)$ である。$i^+$ と $i^0$ を結ぶ辺が光の行き着く先（未来の光的無限遠）で、$\mathcal I^+$ と書く。図 2.17.3 がその形である。

Penrose 図で事象の地平面の定義がはっきりする。領域 I の点から未来へ向かう $45^\circ$ 以内の世界線のうち $\mathcal I^+$ に届くものがある点の集まりの境界が、破線 $(\tilde U=0)$ である。破線より上の点からは、$\mathcal I^+$ へ届く世界線が1本も無い。上の特異点は水平な線で、領域 II の中の観測者にとって、空間の1点でなく「未来の時刻」である（2.17.3節の「内側で $r$ は時間」）。

1　M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960); G. Szekeres, Publ. Math. Debrecen 7, 285 (1960).