出てくるもの（1）：Eddington–Finkelstein 座標と事象の地平面

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第17章 §2.17.3　★★★ 内向きの光に沿う座標で計量は $r=r_{\mathrm s}$ を越えて正則になり、地平面の内側では光円錐が内側へ倒れて、未来へ進む世界線はすべて $r$ が減る

計量を書き直す

内向きの光で一定になる時刻

$$cv\coloneqq ct+r^*\tag{2.17.12}$$

を新しい時間座標に採る（Eddington（1924）、Finkelstein（1958）¹1A. S. Eddington, Nature 113, 192 (1924); D. Finkelstein, Phys. Rev. 110, 965 (1958).下の脚注へ閉じる）。$c\,\mathrm{d} t=c\,\mathrm{d} v-\mathrm{d} r/(1-r_{\mathrm s}/r)$ を Schwarzschild 計量に入れると、$\mathrm{d} r^2$ の項がちょうど打ち消し合って

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c^2\mathrm{d} v^2-2c\,\mathrm{d} v\,\mathrm{d} r-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)\tag{2.17.13}$$

を得る。この計量の成分はどれも $r=r_{\mathrm s}$ で有限で、$t$-$r$ 部分の行列式 $-1$ も $0$ にならない。$r>0$ ならどこでも正則である。$r=r_{\mathrm s}$ の発散は座標 $t$ の選び方に由来するもので、時空は $r=r_{\mathrm s}$ を越えて $r<r_{\mathrm s}$ へ滑らかにつながっている。ここで $(v,r)$ 座標は $r<r_{\mathrm s}$ の領域にも目盛りを振っている。$t$ で書いた元の計量の $r<r_{\mathrm s}$ の部分は、(2.17.13) の同じ領域を別の座標で書いたものになる。

光円錐の傾き

(2.17.13) で動径方向の光（$\mathrm{d} s^2=0$、$\theta,\varphi$ 一定）を求めると、

$$\mathrm{d} v=0\quad(\text{内向き}),\qquad \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} v}=\frac c2\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)\quad(\text{もう一方})\tag{2.17.14}$$

の2本である。$r>r_{\mathrm s}$ では2本目は $r$ が増える外向きの光である。$r=r_{\mathrm s}$ では $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} v}=0$ で、外向きに出した光はその場に留まる。$r<r_{\mathrm s}$ では $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} v}<0$ となり、「外向き」に出したはずの光も $r$ が減る。

質量のある粒子の世界線は、各点の光円錐の内側にある。$r<r_{\mathrm s}$ では光円錐の2本の縁がどちらも $r$ の減る向きを向くので、粒子がどう噴射しても $r$ は減り続け、有限の固有時のうちに $r=0$ に着く。外の観測者へ信号を送る世界線は1本も無い。この境界 $r=r_{\mathrm s}$ を事象の地平面と呼ぶ。地平面は「外の無限遠へ届く世界線を持つ点の集まり」の境界として定義される面で、局所的な曲率の大きさでは決まらない（例題 2.17.2）。

図 2.17.1 は、内向きの光が $45^\circ$ になるように時間座標を $c\tilde t\coloneqq cv-r$ と取り直して描いた光円錐である。この座標で外向きの光の向きは $(\mathrm{d} r,c\,\mathrm{d}\tilde t)\propto(1-r_{\mathrm s}/r,\,1+r_{\mathrm s}/r)$ で、$r=r_{\mathrm s}$ で真上を、内側では左上を向く。

内側で $r$ は時間

$t$ で書いた元の計量の $r<r_{\mathrm s}$ の部分を見ると、$1-r_{\mathrm s}/r<0$ なので $\mathrm{d} t^2$ の係数が負、$\mathrm{d} r^2$ の係数が正になる。$(+,-,-,-)$ の流儀で係数が正の座標は時間の向きなので、地平面の内側では $r$ が時間座標、$t$ が空間座標の役を入れ替わる。$r$ が減っていくことは「時間が進む」ことと同じで、$r=0$ は内側の観測者にとって「どこかの場所」でなく「未来のある時刻」である。避けられないのはそのためである。

回転するブラックホール：止まっていられない領域

回転するブラックホールの真空解は Kerr（1963）²2R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).下の脚注へ閉じるが見つけた。角運動量を $J$、長さの次元を持つ量 $a\coloneqq J/(Mc)$ として、Boyer–Lindquist 座標で（この本の流儀 $(+,-,-,-)$ で）

$$\begin{aligned} \mathrm{d} s^2={}&\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}r}{\Sigma}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2+\frac{2r_{\mathrm s}ar\sin^2\theta}{\Sigma}\,c\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}\varphi-\frac{\Sigma}{\Delta(r)}\mathrm{d} r^2-\Sigma\,\mathrm{d}\theta^2\\ &-\Bigl(r^2+a^2+\frac{r_{\mathrm s}ra^2\sin^2\theta}{\Sigma}\Bigr)\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2,\qquad \Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta,\quad \Delta(r)=r^2-r_{\mathrm s}r+a^2 \end{aligned}\tag{2.17.15}$$

である（$\Delta(r)$ は有限の差の $\Delta$ と区別するため必ず引数を付けて書く）。$a=0$ で Schwarzschild 計量に戻る。verify_ch2-17.py は時空の1点で $R_{\mu\nu}=0$ を数値で確かめている。

$g_{rr}$ が発散する $\Delta(r)=0$ の外側の根

$$r_+=\frac{r_{\mathrm s}+\sqrt{r_{\mathrm s}^2-4a^2}}{2}\tag{2.17.16}$$

が事象の地平面である（$a\le r_{\mathrm s}/2$ のときだけ存在し、$a=r_{\mathrm s}/2$ を極限 Kerr と呼ぶ）。これとは別に、$g_{00}$ が $0$ になる面

$$r_{\mathrm E}(\theta)=\frac{r_{\mathrm s}+\sqrt{r_{\mathrm s}^2-4a^2\cos^2\theta}}{2}\tag{2.17.17}$$

がある。$r_{\mathrm E}\ge r_+$ で、等号は極（$\theta=0,\pi$）だけで成り立つ。$r_+<r<r_{\mathrm E}$ の領域をエルゴ領域と呼ぶ。

エルゴ領域の意味は、Schwarzschild の地平面の議論と同じく光円錐の向きで読める。$r,\theta,\varphi$ をすべて一定にした世界線は $\mathrm{d} s^2=g_{00}c^2\mathrm{d} t^2$ で、$g_{00}<0$ の所では空間的になる。つまりエルゴ領域では、遠方から見て静止したまま留まることができない。ただし $\varphi$ を回転の向きに動かせば時間的な世界線が作れ、さらに地平面の外なので遠方へ出ていくこともできる。Schwarzschild では「静止できなくなる面」と「出られなくなる面」が同じ $r=r_{\mathrm s}$ だったが、回転があると2つが分かれる。エルゴ領域の中では保存量 $\tilde E$ が負の軌道が許され、それを使って回転のエネルギーを取り出すのが Penrose 過程である（第2部第19章）。

1　A. S. Eddington, Nature 113, 192 (1924); D. Finkelstein, Phys. Rev. 110, 965 (1958).

2　R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).