この章のまとめ

(1) 換算質量 $m_{\mathrm r}$ が中心からの力 $-GMm_{\mathrm r}/a^2$ を受けて半径 $a$ を回るので、$m_{\mathrm r}a\Omega^2=GMm_{\mathrm r}/a^2$ から $\Omega^2=GM/a^3$（Kepler の第3法則）。$I_{xy}=m_{\mathrm r}a^2\cos\Omega t\sin\Omega t=\frac12m_{\mathrm r}a^2\sin2\Omega t$ なので $\ddot I_{xy}=-2m_{\mathrm r}a^2\Omega^2\sin2\Omega t$。同様に $\ddot I_{xx}=-2m_{\mathrm r}a^2\Omega^2\cos2\Omega t$、$\ddot I_{yy}=+2m_{\mathrm r}a^2\Omega^2\cos2\Omega t$ である。

(2) $z$ 軸の上では $xy$ 面がそのまま波の進む向きに垂直な面で、TT 射影は $xy$ の2行2列から跡を除くことになる。(2.18.26) から$h_+=\frac{2G}{c^4r}\cdot\frac{\ddot I_{xx}-\ddot I_{yy}}{2}=-\frac{4Gm_{\mathrm r}a^2\Omega^2}{c^4r}\cos2\Omega t_{\mathrm r}$、$h_\times=\frac{2G}{c^4r}\ddot I_{xy}=-\frac{4Gm_{\mathrm r}a^2\Omega^2}{c^4r}\sin2\Omega t_{\mathrm r}$（$t_{\mathrm r}=t-r/c$）。2つの偏極は位相が 90° ずれた同じ振幅で、円偏光に当たる。振幅は $h_0=4Gm_{\mathrm r}a^2\Omega^2/(c^4r)$ で、$\Omega=\pi f$、$a^2=(GM)^{2/3}\Omega^{-4/3}$ を入れると$h_0=\frac{4G}{c^4r}m_{\mathrm r}(GM)^{2/3}(\pi f)^{2/3}$。$m_{\mathrm r}M^{2/3}=\mathcal M^{5/3}$ なので $h_0=\frac{4}{c^4r}(G\mathcal M)^{5/3}(\pi f)^{2/3}$ である。

(3) 方向 $\iota$ では $h_+=-h_0\frac{1+\cos^2\iota}{2}\cos2\Omega t_{\mathrm r}$、$h_\times=-h_0\cos\iota\sin2\Omega t_{\mathrm r}$ となり、時間平均は$\langle\dot h_+^2+\dot h_\times^2\rangle=\frac12(2\Omega)^2h_0^2\bigl[(\tfrac{1+\cos^2\iota}{2})^2+\cos^2\iota\bigr]$。立体角で積分すると、$u=\cos\iota$ として $2\pi\int_{-1}^1\bigl[\frac{(1+u^2)^2}{4}+u^2\bigr]\mathrm{d} u=2\pi\bigl(\frac{14}{15}+\frac{10}{15}\bigr)=\frac{16\pi}{5}$。したがって $P=\frac{c^3r^2}{16\pi G}\cdot2\Omega^2h_0^2\cdot\frac{16\pi}{5}=\frac{2c^3r^2\Omega^2h_0^2}{5G}$。$r^2h_0^2=16G^2m_{\mathrm r}^2a^4\Omega^4/c^8$ を入れると$P=\frac{32}{5}\frac{G}{c^5}m_{\mathrm r}^2a^4\Omega^6$ で、(2.18.28) と一致する。この積分の $\frac{16\pi}{5}$ の分母の $5$ が、四重極公式の係数 $\frac15$ の $5$ に当たる。

(4) 軌道のエネルギーは $E=-GMm_{\mathrm r}/(2a)$（中心力の運動の保存量）。重力波が運び去る分だけ減るとして $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=-P$ と置くと (2.18.29) を得て、$a^3\mathrm{d} a=-\frac{64}{5}\frac{G^3m_{\mathrm r}M^2}{c^5}\mathrm{d} t$ を $a_0$ から $0$ まで積分して $\tau=\frac{5}{256}\frac{c^5a_0^4}{G^3m_{\mathrm r}M^2}$。

(5) $M=2.8\,M_\odot$、$\Omega=2\pi/(2.79\times10^4\,\mathrm s)=2.25\times10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$ から $a=(GM/\Omega^2)^{1/3}=1.94\times10^9\,\mathrm m$（太陽半径の約3倍）。重力波の周波数は $f=2/P_{\mathrm b}=7.17\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}$ で、地上の干渉計（数十 Hz 以上）でなく、宇宙に置く干渉計やパルサーの観測が対象とする帯域である。$m_{\mathrm r}=0.7\,M_\odot$ で $h_0=4Gm_{\mathrm r}a^2\Omega^2/(c^4r)=2.9\times10^{-22}$、$P=6.3\times10^{23}\,\mathrm W$（太陽の光度 $3.8\times10^{26}\,\mathrm W$ の約 600 分の1）、$\tau=1.7\times10^9$ 年である。離心率があると放射が $f(e)$ 倍に強まり軌道のエネルギーが速く減るので、同じ周期から始めた連星の合体までの時間は円軌道の値より短くなる。