例を sympy で計算する：球面・3次元球面・双曲面

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.5　★★ 曲率が一定の空間（最大対称空間）の曲率を計算し、測地円の周の不足からスカラー曲率を測る方法を示す

曲率が一定の空間

計量から Christoffel 記号・Riemann テンソル・Ricci テンソル・スカラー曲率を順に計算する作業は、手で行うと長いが機械的である。scripts/verify_ch2-14.py では、式 (2.14.3)・(2.14.19) をそのまま sympy の関数にし、どの計量でも同じ関数で計算している。結果を表 2.14.1 にまとめる。

2次元球面と3次元球面はどちらも、Riemann テンソルが

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=K\bigl(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}\bigr),\qquad K=\frac1{a^2}\tag{2.14.24}$$

の形になる。どの点でもどの向きでも曲がり方が同じ空間を最大対称空間と呼び、Riemann テンソルは定数 $K$ 1つで決まる。縮約すると $R_{\mu\nu}=(n-1)Kg_{\mu\nu}$、$R=n(n-1)K$ で、$n=2$ で $2/a^2$、$n=3$ で $6/a^2$ になる。双曲面は $K=-1/a^2$ の最大対称空間である。

時空の計量の空間部分は符号が $(-,-,-)$ なので、同じ3次元球面を $-a^2(\cdots)$ と書くと、Riemann テンソル $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ は変わらず（$\Gamma$ は $g$ の符号によらない）、$g^{\mu\nu}$ の符号だけが変わるので $R=-6/a^2$ になる。「正の曲率」は正定値の計量で述べることにする（第2部第11章の対応表）。2次元では式 (2.14.10) から $R_{\mu\nu}=\frac R2g_{\mu\nu}$ なので $G_{\mu\nu}\equiv0$ で、2次元の重力には Einstein 方程式に当たる方程式が無い。

測地円の周の不足で曲率を測る

曲率は、面の外から眺めなくても面の中の測量だけで測ることができる。2次元の面の点 $P$ から測地線に沿って距離 $\epsilon$ の点を集めた曲線（測地円）の周の長さを $C(\epsilon)$ とすると、

$$C(\epsilon)=2\pi\epsilon\Bigl(1-\frac{K}{6}\epsilon^2+\mathcal{O}(\epsilon^3)\Bigr),\qquad K=\frac R2\tag{2.14.25}$$

である。球面では北極を中心にとると測地円は緯線 $\theta=\epsilon/a$ で、$C=2\pi a\sin(\epsilon/a)$ を展開すると式 (2.14.25) になる。双曲面では $\sin$ が $\sinh$ に替わり、周は平面より長くなる（図 2.14.3）。3次元では、測地球の体積が $V(\epsilon)=\frac{4\pi}{3}\epsilon^3\bigl(1-\frac{R}{30}\epsilon^2+\cdots\bigr)$ になる（3次元球面で $V=\int_0^{\epsilon}4\pi a^2\sin^2(s/a)\,\mathrm{d} s$ を展開して確かめた）。

図 2.14.3　測地円の周と平面の円周の比。点線は厳密な値（球面 $\sin x/x$、双曲面 $\sinh x/x$、$x=\epsilon/a$）、実線は式 (2.14.25) の近似 $1\mp x^2/6$。$\epsilon/a$ が小さい所では近似と厳密な値が重なり、周の不足から $K$ を読み取ることができる