Ricci テンソルは体積の縮み方

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.4　★★★ Riemann テンソルの縮約（Ricci テンソル）は、自由落下する粒子の雲の体積の2階微分を表す。物質の無い所では 0 になり、Einstein 方程式の左辺の材料になる

Ricci テンソル・スカラー曲率・Einstein テンソル

式 (2.14.7) の組の入れ替えの対称性から、$R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}$ である。1番目と3番目の添字の縮約は、正本の流儀で決めたもので、別の組を縮約すると符号が変わるか $0$ になる（$R^\rho{}_{\rho\mu\nu}=0$）。

第2 Bianchi 恒等式 (2.14.12) を縮約する。$\rho$ と $\mu$ を縮約し（$\nabla g=0$ なので縮約と共変微分は入れ替えてよい）、さらに $g^{\sigma\nu}$ を掛けて縮約すると

$$\nabla_\lambda R-2\nabla^\mu R_{\mu\lambda}=0$$

を得る（途中で $g^{\sigma\nu}R_{\alpha\sigma\nu\lambda}=-R_{\alpha\lambda}$ を使う）。これを書き直したものが

$$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0\qquad(\text{縮約した Bianchi 恒等式})\tag{2.14.20}$$

である。左辺は計量だけから作った量で、どんな計量でも恒等的に $0$ になる。第2部第15章で、Einstein 方程式の左辺に $G_{\mu\nu}$ が選ばれる理由として使う。

自由落下する雲の体積

自由落下する観測者のまわりに、最初は静止して小さな雲をなす粒子を置く。局所慣性系で $\xi^i$ の3つの独立な向きの偏差を並べた行列を $\Xi$ とすると、雲の体積は $\det\Xi$ に比例する。式 (2.14.16) より $\ddot\Xi=-\mathcal E\,\Xi$ で、最初の瞬間に $\dot\Xi=0$ なら

$$\frac{\ddot V}{V}=-\operatorname{Tr}\mathcal E=-\sum_i\mathcal E_{ii}\tag{2.14.21}$$

である（$\det(1+\epsilon A)=1+\epsilon\operatorname{Tr} A+\mathcal{O}(\epsilon^2)$ を使う）。$\mathcal E$ の対角和を Riemann テンソルで書くと、$u^\mu=(c,0,0,0)$ の局所慣性系で

$$\sum_i\mathcal E_{ii}=c^2\sum_iR^i{}_{0i0}=c^2R^\rho{}_{0\rho0}=R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$$

となる（$R^0{}_{000}=0$ なので $\rho=0$ の項を足してよい）。よって

$$\frac{\ddot V}{V}=-R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu .\tag{2.14.22}$$

雲の体積の縮み方は Ricci テンソルだけで決まる。$\mathcal E$ の対角和を除いた部分（形を変える部分）は Weyl テンソルの成分に当たり、体積を変えない。

弱い場では、式 (2.14.14) の対角和から $R_{00}=\nabla^2\Phi/c^2$ で、Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ を使うと

$$R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=c^2R_{00}=4\pi G\rho ,\qquad \frac{\ddot V}{V}=-4\pi G\rho\tag{2.14.23}$$

となる。物質（$\rho>0$）がある所では雲は縮み、物質の無い所では $\nabla^2\Phi=0$ で体積は変わらず、形だけが変わる。図 2.14.2 の点質量の外では、引き伸ばし $+2$ と押し縮め $-1$、$-1$ の和が $0$ になる。Schwarzschild 計量で $R_{\mu\nu}=0$ を sympy で確かめることもできる（scripts/verify_ch2-14.py）。式 (2.14.18) の対角和も $0$ である。

「物質の無い所で $R_{\mu\nu}=0$」は Einstein 方程式の真空の場合で、Riemann テンソル全体は $0$ にならないので潮汐力は残る。3次元では Riemann テンソルが Ricci テンソルで決まる（式 (2.14.11)）ので、もし時空が3次元なら、物質の無い所には潮汐力が無く、離れた物体に重力を伝えることもできない。4次元では Weyl テンソルの 10 成分が残るので、真空を伝わる重力（潮汐力や第2部第18章の重力波）が存在しうる。