測地線偏差と潮汐力

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.3　★★★ 近くの2本の測地線の間隔の加速度が Riemann テンソルで書けることを示し、弱い場で Newton の潮汐力に一致させる。潮汐力は時空の曲率そのものである

測地線偏差の方程式

1つの径数 $s$ で並べた測地線の族 $x^\mu(\tau,s)$ を考える。$s$ を固定すると固有時 $\tau$ を径数とする測地線で、$s$ を少し変えると隣の測地線に移る。$u^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial \tau}$ を4元速度、$\xi^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial s}$ を隣の測地線へのずれ（偏差ベクトル）と呼ぶ。曲線に沿った共変微分を

$$\frac{D V^\rho}{\mathrm{d}\tau}=\frac{\partial V^\rho}{\partial \tau}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}u^\mu V^\sigma,\qquad \frac{DV^\rho}{\mathrm{d} s}=\frac{\partial V^\rho}{\partial s}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\xi^\mu V^\sigma$$

と書く。測地線方程式は $\frac{Du^\rho}{\mathrm{d}\tau}=0$ である（第2部第12章）。

証明

まず $\frac{D\xi^\rho}{\mathrm{d}\tau}=\partial_\tau\partial_sx^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}u^\mu\xi^\sigma$ は、$\partial_\tau\partial_s=\partial_s\partial_\tau$ と $\Gamma$ の対称性により $u$ と $\xi$ について対称なので、$\frac{D\xi}{\mathrm{d}\tau}=\frac{Du}{\mathrm{d} s}$ である。次に、行列の記法で $\frac{D}{\mathrm{d}\tau}=\partial_\tau+u^\mu\Gamma_\mu$、$\frac{D}{\mathrm{d} s}=\partial_s+\xi^\nu\Gamma_\nu$ と書き、交換子を計算する。$\partial_\tau\Gamma_\nu=u^\mu\partial_\mu\Gamma_\nu$ などを使うと

$$\Bigl[\frac{D}{\mathrm{d}\tau},\frac{D}{\mathrm{d} s}\Bigr]=(\partial_\tau\xi^\nu-\partial_su^\nu)\Gamma_\nu+u^\mu\xi^\nu\bigl(\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+[\Gamma_\mu,\Gamma_\nu]\bigr)=u^\mu\xi^\nu R_{\mu\nu}$$

となる（第1項は $\partial_\tau\xi=\partial_\tau\partial_sx=\partial_su$ で消える）。これは式 (2.14.4) の曲線版である。したがって

$$\frac{D^2\xi^\rho}{\mathrm{d}\tau^2}=\frac{D}{\mathrm{d}\tau}\frac{Du^\rho}{\mathrm{d} s}=\frac{D}{\mathrm{d} s}\frac{Du^\rho}{\mathrm{d}\tau}+u^\mu\xi^\nu R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma=0+R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma u^\mu\xi^\nu .$$

右辺はテンソルなので、偏差の加速度は座標によらない。平坦な時空では $R=0$ で、並んで進む自由粒子の間隔は $\tau$ の1次式でしか変わらない（等速で離れるか近づく）。$R\neq0$ なら、最初に平行に並んで静止していた2つの粒子でも間隔が加速度をもって変わる。これが潮汐力であり、等価原理で消せない重力の部分である。

弱い場で Newton の潮汐力に戻る

第2部第12章の静的な弱い場 $g_{00}=1+2\Phi/c^2$、$g_{ij}=-(1-2\Phi/c^2)\delta_{ij}$（$x^0=ct$）で、$\Phi/c^2$ の1次まで計算する。Christoffel 記号のうち、ゆっくり動く粒子に関係するのは $\Gamma^i{}_{00}=\partial_i\Phi/c^2$ である。$\Phi$ は時間によらないので、式 (2.14.3) の $\partial_0$ の項は消え、$\Gamma\Gamma$ の項は $\Phi$ の2次になる。よって

$$R^i{}_{0j0}=\partial_j\Gamma^i{}_{00}=\frac{\partial_i\partial_j\Phi}{c^2}.\tag{2.14.14}$$

ゆっくり動く観測者では $u^\mu\approx(c,0,0,0)$、$\tau\approx t$ で、自由落下する観測者の局所慣性系では $D/\mathrm{d}\tau$ は普通の時間微分になる。式 (2.14.13) で $\sigma=\mu=0$ の項だけが残り、$R^i{}_{00j}=-R^i{}_{0j0}$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi^i}{\mathrm{d} t^2}=c^2R^i{}_{00j}\xi^j=-\sum_j\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j .\tag{2.14.15}$$

Newton の重力で、位置 $\bm{x}$ と $\bm{x}+\bm{\xi}$ の2つの粒子の加速度の差は $-\nabla\Phi(\bm{x}+\bm{\xi})+\nabla\Phi(\bm{x})=-(\bm{\xi}\cdot\nabla)\nabla\Phi$ で、式 (2.14.15) と同じである。

そこで、自由落下する観測者の局所慣性系で

$$\mathcal E_{ij}\coloneqq c^2R^i{}_{0j0}\qquad\Bigl(\text{弱い場で }\mathcal E_{ij}=\partial_i\partial_j\Phi\Bigr),\qquad \frac{\mathrm{d}^2\xi^i}{\mathrm{d} t^2}=-\sum_j\mathcal E_{ij}\xi^j\tag{2.14.16}$$

を潮汐テンソルと呼ぶ。$\mathcal E_{ij}$ は対称な $3\times3$ 行列で、固有値が負の向きには引き伸ばされ、正の向きには押し縮められる。

質量 $M$ の点から距離 $r$ の所を考え、$z$ 軸をその点から外向きにとる。$\Phi=-GM/r$ を2回微分すると

$$\mathcal E=\frac{GM}{r^3}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix},\qquad \ddot\xi_z=+\frac{2GM}{r^3}\xi_z,\qquad \ddot\xi_x=-\frac{GM}{r^3}\xi_x\tag{2.14.17}$$

となる。質量の方向には引き伸ばされ、横には押し縮められる（図 2.14.2）。$\mathcal E$ の対角和は $\nabla^2\Phi$ で、質量の外では $0$ である。

Schwarzschild 時空の潮汐

弱い場の式 (2.14.14) は $\Phi/c^2$ の1次の近似だった。質量 $M$ の球対称な星の外の計量（Schwarzschild 計量。第2部第16章で導く）

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2-\frac{\mathrm{d} r^2}{1-r_{\mathrm s}/r}-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2),\qquad r_{\mathrm s}=\frac{2GM}{c^2}$$

では、近似なしに計算することができる。半径 $r$ の所で一瞬静止している自由落下の観測者の局所慣性系（長さ1の基底 $\hat 0,\hat r,\hat\theta,\hat\varphi$）で、Riemann テンソルの成分を sympy で計算すると

$$\mathcal E_{\hat r\hat r}=c^2R^{\hat r}{}_{\hat0\hat r\hat0}=-\frac{2GM}{r^3},\qquad \mathcal E_{\hat\theta\hat\theta}=\mathcal E_{\hat\varphi\hat\varphi}=+\frac{GM}{r^3}\tag{2.14.18}$$

となる。Newton の値 (2.14.17) と、$r$ が $r_{\mathrm s}$ に近くても完全に一致する。

この式で、身長 $2\,\mathrm m$ の人が足から自由落下するとき、頭と足の間の潮汐の相対加速度は $2GM\cdot2\,\mathrm m/r^3$ である。半径 $r_{\mathrm s}$（事象の地平面。第2部第17章）では $r_{\mathrm s}^3\propto M^3$ なので、潮汐は $1/M^2$ に比例する。太陽質量の 10 倍のブラックホールでは $r_{\mathrm s}=29.5\,\mathrm{km}$ で潮汐差は $2.06\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、太陽質量の $4\times10^6$ 倍では $r_{\mathrm s}=1.18\times10^{10}\,\mathrm m$ で $1.29\times10^{-3}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ になる。重いブラックホールほど地平面での潮汐は小さい。

数値で確かめる

式 (2.14.13) は偏差 $\xi$ の1次の式である。$GM=1$ の Newton の重力の中で、$r=10$ と $r=10+10^{-4}$ に静止させた2つの粒子をそれぞれ数値積分して落とし、その間隔の変化を、偏差の式 $\ddot\xi=+2GM\xi/r(t)^3$（$r(t)$ は1つ目の粒子の軌道）を積分したものと比べると、時刻 $t=2$ まで $\xi$ の $10^{-3}$ 倍の精度で一致する（scripts/verify_ch2-14.py）。差は $\xi^2$ の大きさで、近似の次数と合う。

1　月の $GM$ は Folkner, W. M. et al. (2014), The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431, IPN Progress Report 42-196 の値を4桁に丸めた。太陽の $GM$ は IAU 2015 Resolution B3（Prša, A. et al. (2016), AJ 152, 41）、天文単位は IAU 2012 Resolution B2 の定義値。