Riemann テンソルの対称性と Bianchi 恒等式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.2　★★ 局所慣性系で Riemann テンソルを計量の2階微分だけで書き、対称性・独立な成分の数・2つの Bianchi 恒等式を読み取る

局所慣性系での形

添字を全部下げた $R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\lambda}R^\lambda{}_{\sigma\mu\nu}$ の性質を調べる。テンソルの等式は1つの座標で示せばどの座標でも成り立つので、点 $P$ の局所慣性系の座標を使う。$P$ では $\Gamma=0$ なので式 (2.14.3) の $\Gamma\Gamma$ の項が消え、$\partial g=0$ なので $g_{\rho\lambda}\partial_\mu\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}=\partial_\mu(g_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma})$ である。添字を下げた Christoffel 記号 $\frac12(\partial_\nu g_{\rho\sigma}+\partial_\sigma g_{\rho\nu}-\partial_\rho g_{\nu\sigma})$ を微分して整理すると、

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}(P)=\frac12\bigl(\partial_\mu\partial_\sigma g_{\rho\nu}+\partial_\nu\partial_\rho g_{\sigma\mu}-\partial_\mu\partial_\rho g_{\sigma\nu}-\partial_\nu\partial_\sigma g_{\rho\mu}\bigr)\tag{2.14.6}$$

を得る。Riemann テンソルは、1点で見れば計量の2階微分の組み合わせである。

証明

式 (2.14.6) で、$\mu\leftrightarrow\nu$ の入れ替えは第1項と第4項、第2項と第3項を入れ替えて符号を変える。$\rho\leftrightarrow\sigma$ も同じ（$g$ の対称性と、偏微分が入れ替えられることを使う）。組 $(\rho\sigma)$ と $(\mu\nu)$ の入れ替えは第1項と第2項をそれぞれ自分に、第3項と第4項をそれぞれ自分に移す。第1 Bianchi 恒等式は、$(\sigma,\mu,\nu)$ を巡回させた3つの和をとると12項が2つずつ打ち消し合う。どれも $P$ で成り立つテンソルの等式なので、どの座標でも成り立つ。第1 Bianchi 恒等式は $\Gamma$ の対称性（捩れが無いこと）に、2番目の反対称性は $\nabla g=0$ に由来する。

独立な成分の数

$n$ 次元で $R_{\rho\sigma\mu\nu}$ は反対称な組 $[\rho\sigma]$ と $[\mu\nu]$ の対称な行列とみなせる。反対称な組は $N=n(n-1)/2$ 通りで、対称な $N\times N$ 行列の成分は $N(N+1)/2$ 個ある。ここから第1 Bianchi 恒等式の分を引く。4つの添字がすべて異なる場合だけが新しい条件になり、その数は4つを選ぶ組み合わせ $\binom n4$ である。整理すると

$$\frac{N(N+1)}{2}-\binom n4=\frac{n^2(n^2-1)}{12}\tag{2.14.9}$$

で、$n=2,3,4$ でそれぞれ $1$, $6$, $20$ になる。

この数は、第2部第13章の式 (2.13.20) の直後で、座標で消せない2階微分の数として数えたものと一致する。4次元の 20 を、局所慣性系をとる自由度から数え直すと次のようになる。1点の計量の2階微分 $\partial_\lambda\partial_\kappa g_{\mu\nu}$ は対称な組 $(\lambda\kappa)$ と $(\mu\nu)$ でそれぞれ 10 通りずつ、合わせて 100 個ある。座標変換 $x'^\mu(x)$ の3階微分 $\partial^3x'^\mu/\partial x^\alpha\partial x^\beta\partial x^\gamma$ は $\mu$ の4通りと対称な3つ組の 20 通りで 80 個あり、これを選んで $\partial\partial g$ を 80 個まで $0$ にすることができる。残る $100-80=20$ 個は座標を選んでも消えない量で、これが Riemann テンソルの成分の数に一致する。$\Gamma$（$\partial g$）は 40 個で、座標変換の2階微分も 40 個あるので、すべて消すことができる。

成分が少ない次元では、Riemann テンソルは縮約した量で決まる。Ricci テンソル $R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$ とスカラー曲率 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$（2.14.4節で意味を調べる）を使うと、2次元では

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac R2\bigl(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}\bigr)\tag{2.14.10}$$

となる（右辺は対称性をすべて満たし、成分は1つしかないので、縮約して $R$ に一致するように係数を決めればよい）。3次元では成分が 6 個で、対称な $R_{\mu\nu}$ の成分も 6 個なので、Riemann テンソルは Ricci テンソルで決まる：

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\mu}R_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}R_{\sigma\mu}-g_{\sigma\mu}R_{\rho\nu}+g_{\sigma\nu}R_{\rho\mu}-\frac R2\bigl(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}\bigr).\tag{2.14.11}$$

4次元では 20 個のうち 10 個が Ricci テンソルで決まり、残りの 10 個（Weyl テンソル）は Ricci テンソルが $0$ でも $0$ にならない。2.14.4節で、この違いが物質の無い所の潮汐力の有無に対応することを見る。

第2 Bianchi 恒等式

証明

点 $P$ の局所慣性系で考える。$P$ で $\Gamma=0$ なので、共変微分は偏微分に等しく、$\partial_\lambda(\Gamma\Gamma)$ も $P$ で $0$ である。よって $P$ で$\nabla_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\lambda\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\lambda\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$ である。$(\lambda,\mu,\nu)$ を巡回させた3つの和をとると、6つの項は偏微分の順番が入れ替えられることにより2つずつ打ち消し合う。

縮約した形は 2.14.4節で使う。物理の側から見ると、この恒等式はエネルギー運動量の保存が Einstein 方程式と矛盾しないことを保証する（第2部第15章）。