授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第4章 §5.4.6　★★ SI の Klein–Gordon・Dirac 方程式、Schrödinger 方程式への極限、微細構造の3つの補正項を Dirac 方程式の展開と並べる

SI で書いた2つの方程式

学部の教科書では、2つの方程式は SI で次のように書かれる。

$$\Bigl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Bigr)\phi=0,\qquad \mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\bigl[c\,\bm{\alpha}\cdot(\bm{p}-q\bm{A})+\beta mc^2+q\phi\bigr]\psi\tag{5.4.32}$$

（左は Klein–Gordon 方程式で、$\phi$ は場。右は Dirac 方程式で、$\phi$ はスカラーポテンシャル）。この章の自然単位の式から、$m\to mc/\hbar$（長さの逆数）、$H_{\mathrm D}$ の $\bm{p}\to c\bm{p}$、$m\to mc^2$ と戻せば得られる。第2部第5章の $\kappa=mc/\hbar$ は、Klein–Gordon 方程式の質量の項を長さの逆数で書いたものである。

Schrödinger 方程式は Klein–Gordon 方程式の極限

Klein–Gordon 方程式で $\phi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} mt}\psi$ とおくと、$\partial_t^2\phi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} mt}(\ddot\psi-2\mathrm{i} m\dot\psi-m^2\psi)$ なので

$$\ddot\psi-2\mathrm{i} m\dot\psi-\nabla^2\psi=0$$

になる。$\psi$ の時間変化の角振動数が $m$ よりずっと小さければ、$\ddot\psi$ は $m\dot\psi$ に比べて落とすことができ、$\mathrm{i}\dot\psi=-\nabla^2\psi/(2m)$、つまり自由粒子の Schrödinger 方程式になる。保存密度も $j^0=\mathrm{i}(\phi^*\dot\phi-\phi\dot\phi^*)\approx2m\lvert \psi\rvert ^2$ で、$2m$ で割ると確率密度 $\lvert \psi\rvert ^2$ に戻る。授業で「非相対論の極限では正のエネルギーの解だけを考えればよい」と言うときに暗に使っているのはこの極限である。

微細構造の3つの項

学部の量子力学では、水素原子の微細構造を Schrödinger 方程式の摂動として、次の3つの項から計算する。

$$H_{\mathrm{rel}}=-\frac{\bm{p}^4}{8m^3c^2},\qquad H_{\mathrm{SO}}=\frac{1}{2m^2c^2}\frac1r\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}\,\bm{S}\cdot\bm{L},\qquad H_{\mathrm{D}}^{(2)}=\frac{\pi\hbar^2}{2m^2c^2}\,\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\delta^{(3)}(\bm{r})\tag{5.4.33}$$

（$H_{\mathrm D}^{(2)}$ は Darwin 項で、Dirac の Hamiltonian $H_{\mathrm D}$ と区別するため上付きの $(2)$ を付けた）。授業では、$H_{\mathrm{rel}}$ は $\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ の展開、$H_{\mathrm{SO}}$ は電子の静止系で見た原子核の磁場と電子の磁気モーメントの相互作用にThomas の歳差の因子 $\frac12$ を掛けたもの、Darwin 項は電子の位置が Compton 波長ほどぼやけることの効果、と別々の理由で説明される。

この章の形では、3つは式 (5.4.24) の第4・5・6項で、1つの Dirac 方程式を $v/c$ について展開した同じ次数の項である。$V=-Z\alpha/r$ を入れると、第5項は $\frac{1}{2m^2}\frac{Z\alpha}{r^3}\bm{S}\cdot\bm{L}$、第6項は $\frac{1}{8m^2}\nabla^2V=\frac{\pi Z\alpha}{2m^2}\delta^{(3)}(\bm{r})$（$\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^{(3)}$）で、SI に戻すと式 (5.4.33) と一致する。Thomas の因子 $\frac12$ は、別に付け足す必要がなく、展開の係数 $\frac{1}{4m^2}$ と $\bm{S}=\frac12\bm{\sigma}$ の積として最初から入っている。Darwin 項は $l=0$ の状態にしか寄与せず、ちょうど $H_{\mathrm{SO}}$ が $l=0$ で $0$ になる分を補う形になる。その結果、3つの和は $j$ だけによる式 (5.4.26) に一致する。次の例題で、$n=2$ の準位でこれを確かめる。