出てくるもの (2)：電磁場の中の Dirac 方程式、$g=2$ と微細構造

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第4章 §5.4.4　★★★ 最小結合 $\partial_\mu\to\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu$ の Dirac 方程式から小さい成分を消すと Pauli の Hamiltonian と $g=2$、次の次数で微細構造が出る

最小結合

第2部第8章では、ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ と波動関数の位相 $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}\psi$ が組になること、第4部第6章ではそれを量子化すると $\bm{p}\to\bm{p}-q\bm{A}$ の最小結合になることを見た。共変な形では微分を共変微分 $D_\mu=\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu$ に置き換える。$A^\mu=(\phi,\bm{A})$、$A_\mu=(\phi,-\bm{A})$ として、Dirac 方程式は

$$(\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu-m)\psi=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{i}\partial_t\psi=\bigl[\bm{\alpha}\cdot\bm{\pi}+\beta m+q\phi\bigr]\psi,\qquad \bm{\pi}\coloneqq\bm{p}-q\bm{A}\tag{5.4.21}$$

になる。右の形は左の形に左から $\gamma^0$ を掛けて $\mathrm{i}\gamma^0\gamma^0(\partial_t+\mathrm{i} q\phi)=\mathrm{i}\partial_t-q\phi$、$\mathrm{i}\gamma^0\gamma^i(\partial_i+\mathrm{i} qA_i)=\mathrm{i}\alpha_i\partial_i+q\alpha_iA^i$ を使えば得られる（$A_i=-A^i$）。この節では $\phi$ は電磁場のスカラーポテンシャルで、Klein–Gordon の場ではない。

小さい成分を消す：Pauli の Hamiltonian

静止エネルギーの速い位相をくくり出して $\psi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} mt}(\xi,\zeta)$ とおく。式 (5.4.21) の上下のブロックは

$$(\mathrm{i}\partial_t-q\phi)\,\xi=(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})\,\zeta,\qquad (\mathrm{i}\partial_t-q\phi+2m)\,\zeta=(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})\,\xi\tag{5.4.22}$$

になる。非相対論の運動では、くくり出した後の時間変化 $\mathrm{i}\partial_t$ と静電エネルギー $q\phi$ は $m$ よりはるかに小さい。2つ目の式の左辺で $2m$ 以外を落とすと $\zeta\approx(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})\xi/(2m)$ で、1つ目に入れると

$$\mathrm{i}\partial_t\xi=\Bigl[\frac{(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})^2}{2m}+q\phi\Bigr]\xi =\Bigl[\frac{\bm{\pi}^2}{2m}-\frac{q}{2m}\bm{\sigma}\cdot\bm{B}+q\phi\Bigr]\xi\tag{5.4.23}$$

を得る。2つ目の等号は第4部第6章で示した $(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})^2=\bm{\pi}^2-q\bm{\sigma}\cdot\bm{B}$ である（$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+\mathrm{i}\sum_k\epsilon_{ijk}\sigma_k$ と $\left[\pi_i,\,\pi_j\right]=\mathrm{i} q\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ から出る）。電子 $q=-e$ では Zeeman の項が $\frac{e}{2m}\bm{\sigma}\cdot\bm{B}=g\frac{e}{2m}\bm{S}\cdot\bm{B}$（$\bm{S}=\frac12\bm{\sigma}$）で $g=2$ になる。

第4部第6章では、運動エネルギーを $\bm{\pi}^2/(2m)$ でなく $(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})^2/(2m)$ と書くことを「選んだ」。2つは磁場が無ければ同じ式で、どちらを選ぶかは非相対論の理論の中では決まらなかった。Dirac 方程式から出発すると、$(\bm{\sigma}\cdot\bm{\pi})^2$ の形が小さい成分を消す計算の中で決まる。$g=2$ は相対論と最小結合の帰結である。実測の電子の $g$ は $2$ からわずかにずれ、そのずれ $(g-2)/2$ の最初の項$\alpha/(2\pi)$ は Schwinger が場の量子論で計算した¹1J. Schwinger (1948), Physical Review 73, 416–417.下の脚注へ閉じる。この計算は1粒子の Dirac 方程式の外にある（第5部第5章）。

次の次数：微細構造の3つの項

$\zeta$ の式で落とした $(\mathrm{i}\partial_t-q\phi)/(2m)$ を1次まで残し、さらに $\xi$ だけで確率が規格化されるように取り替える（$\psi^\dagger\psi=\lvert \xi\rvert ^2+\lvert \zeta\rvert ^2$ なので、$\xi$ そのものは規格化されていない）と、$1/m^3$ までの有効 Hamiltonian は、静的な場で

$$H_{\mathrm{eff}}=\frac{\bm{\pi}^2}{2m}-\frac{q}{2m}\bm{\sigma}\cdot\bm{B}+q\phi-\frac{\bm{\pi}^4}{8m^3} -\frac{q}{4m^2}\bm{\sigma}\cdot(\bm{E}\times\bm{\pi})-\frac{q}{8m^2}\nabla\cdot\bm{E}\tag{5.4.24}$$

になる²2L. L. Foldy and S. A. Wouthuysen (1950), Physical Review 78, 29–36。ユニタリ変換で大きい成分と小さい成分を $1/m$ の各次数で切り離す方法。下の脚注へ閉じる。第4項は相対論的な運動エネルギー $\sqrt{\bm{p}^2+m^2}-m$ の展開の次の項、第5項はスピン軌道相互作用、第6項は Darwin 項である。中心力 $V(r)=q\phi(r)$（$\bm{B}=0$）では $\bm{E}=-\nabla\phi=-\frac{1}{q}\frac{\bm{x}}{r}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}$ なので、第5項は $\frac{1}{4m^2}\frac1r\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}\bm{\sigma}\cdot(\bm{x}\times\bm{p})=\frac{1}{2m^2}\frac1r\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}\,\bm{S}\cdot\bm{L}$、第6項は $\frac{1}{8m^2}\nabla^2V$ になる。

水素原子の厳密な準位

Coulomb ポテンシャル $V(r)=-Z\alpha/r$ の Dirac 方程式は、変数分離で厳密に解くことができる。その結果は、主量子数 $n$ と全角運動量 $j$ で

$$E_{nj}=m\Biggl[1+\biggl(\frac{Z\alpha}{n-(j+\frac12)+\sqrt{(j+\frac12)^2-Z^2\alpha^2}}\biggr)^{2}\Biggr]^{-1/2}\tag{5.4.25}$$

である（導出はここでは追わない）。$Z\alpha$ について展開すると

$$E_{nj}=m-\frac{m(Z\alpha)^2}{2n^2}-\frac{m(Z\alpha)^4}{2n^4}\Bigl(\frac{n}{j+\frac12}-\frac34\Bigr)+\mathcal{O}\bigl((Z\alpha)^6\bigr)\tag{5.4.26}$$

で、第2項が Bohr の準位、第3項が微細構造である。微細構造は $j$ だけによって決まり、軌道角運動量 $l$ によらない。したがって $2s_{1/2}$ と $2p_{1/2}$ は Dirac 方程式では同じエネルギーになる。実際には $2s_{1/2}$ が約 $1\,\mathrm{GHz}$ 高く、Lamb と Retherford がマイクロ波で測った³3W. E. Lamb, Jr. and R. C. Retherford (1947), Physical Review 72, 241–243.下の脚注へ閉じる。この Lamb シフトも、$g-2$ と同じく場の量子論の効果である。

基底状態 $n=1$、$j=\frac12$ では式 (5.4.25) は $E_{1,1/2}=m\sqrt{1-(Z\alpha)^2}$ にまとまる。図 5.4.2 に、束縛エネルギー $m-E$ を Bohr の準位と比べる。$Z\alpha$ が $0.3$ を超えるあたりから差が目に見えて開く。

この近似の位置づけ

式 (5.4.23) と (5.4.24) は、小さいパラメータ $v/c$（原子では $Z\alpha$）について展開して低い次数で切ったもので、$m\to\infty$ の極限の問題を順に補正していく B 型の近似である。

1　J. Schwinger (1948), Physical Review 73, 416–417.

2　L. L. Foldy and S. A. Wouthuysen (1950), Physical Review 78, 29–36。ユニタリ変換で大きい成分と小さい成分を $1/m$ の各次数で切り離す方法。

3　W. E. Lamb, Jr. and R. C. Retherford (1947), Physical Review 72, 241–243.