比べる2つの状態：雑音を通った符号状態

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.1　★★★ 3量子ビットのビット反転符号で、複製せずに冗長にする方法・状態を壊さずに誤りを調べる方法を具体的に見て、誤り訂正を「雑音を通した2状態の $D$ を守ること」として述べる

量子コンピュータの量子ビットは、周りの環境と少しずつ相互作用し、そのたびに重ね合わせの位相や振幅がずれる。古典のビットなら同じ値を3回書いて多数決を取れば誤りを減らせるが、量子ビットでは同じことが3つの理由でできないように見える。第一に、未知の状態を複製することはできない（Wootters–Zurek の複製不可能定理）。第二に、誤りを確かめようとして量子ビットを測ると、守りたい重ね合わせが壊れる。第三に、量子の誤りは「0 と 1 の入れ替え」のような離散的なものに限らず、任意の小さな回転として連続的に起こる。Shor は 1995 年に、9個の量子ビットに1個の論理量子ビットを書き込めば任意の1量子ビットの誤りを直せることを示し、3つの障害がどれも本質的でないことを明らかにした¹1P. W. Shor (1995), Phys. Rev. A 52, R2493。複製不可能定理は W. K. Wootters and W. H. Zurek (1982), Nature 299, 802。下の脚注へ閉じる。

この章は量子誤り訂正を、この巻の背骨である相対エントロピーの言葉で読み直す。比べる2つの状態は、符号空間（論理量子ビットを書き込む部分空間）の中の2つの状態 $\hat\rho$、$\hat\sigma$ を雑音のチャネル $\mathcal N$ に通したもの $\mathcal N(\hat\rho)$、$\mathcal N(\hat\sigma)$ である。当てる性質は量子データ処理不等式 $D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma))\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$（第3部第3章）の等号の条件である。2つの状態の見分けやすさが雑音で少しも減らないことと、雑音を元に戻す操作が存在することは同値になる（Petz の定理）。ここから3つのものが出てくる。1つ目は、誤りを訂正できる条件を誤りの演算子で書いた Knill–Laflamme 条件で、その中身は、環境に残る状態が論理状態に依らないこと、すなわち参照系と環境の相互情報量が $0$ という条件である。2つ目は、その条件を Pauli 演算子の交換関係だけで確かめられるようにしたスタビライザー形式で、5量子ビット符号や Steane 符号がこの形で書ける。3つ目は、エントロピーの劣加法性だけから出る符号の限界（量子 Singleton 上界）と、状態を数える量子 Hamming 上界である。

この章の対数は自然対数（nat）とする。Pauli 行列は記法の正本に従って $X,Y,Z$ と書き、恒等演算子を $\mathbf 1$ と書く。$n$ 個の量子ビットの $j$ 番目にだけ $X$ を当てる演算子を $X_j$ と書き、$X_1X_2=X\otimes X\otimes\mathbf 1$ のように積でテンソル積を表す。物理的な量子ビット1個が誤る確率を $\varepsilon$ と書く（記法の正本の $\varepsilon$ は1電子のエネルギーだが、この章には現れない）。

古典の繰り返し符号

古典の通信路で1ビットを送るとき、各ビットが独立に確率 $\varepsilon$ で反転するとする（2値対称通信路。第1部第4章）。$0$ を $000$、$1$ を $111$ と3回繰り返して送り、受け取った側で多数決を取ると、3ビットのうち2つ以上が反転したときだけ誤る。その確率は

$$\varepsilon _{\mathrm L}=3\varepsilon ^2(1-\varepsilon )+\varepsilon ^3=3\varepsilon ^2-2\varepsilon ^3\tag{3.9.1}$$

である。$\varepsilon _{\mathrm L}<\varepsilon$ は $0<\varepsilon <1/2$ で成り立つので、ビットが半分以上の確率で正しく届く限り、繰り返しは誤りを減らす。$\varepsilon$ が小さいとき $\varepsilon _{\mathrm L}\approx3\varepsilon ^2$ で、誤りの確率が1次から2次に下がる。誤り訂正で誤りが減る理由はこの次数の差で、1個の誤りは直せて2個の誤りは直せない符号では、残る誤りは2個同時に起こる確率の大きさになる。

量子のビット反転符号

量子ビット $\alpha| 0 \rangle +\beta| 1 \rangle$ を守りたい。$| \psi \rangle \otimes| \psi \rangle \otimes| \psi \rangle$ を作ることは複製不可能定理で禁じられているが、

$$\alpha| 0 \rangle +\beta| 1 \rangle \ \longmapsto\ \alpha| 000 \rangle +\beta| 111 \rangle \eqqcolon\alpha| 0_{\mathrm L} \rangle +\beta| 1_{\mathrm L} \rangle\tag{3.9.2}$$

は作れる。$| 0 \rangle$ と $| 1 \rangle$ という2つの基底を複製しているだけで、状態そのものは複製していないからである。実際この写像は線形で、制御 NOT ゲート2つで実現できる。$| 0_{\mathrm L} \rangle$ と $| 1_{\mathrm L} \rangle$ が張る2次元の部分空間を符号空間と呼び $\mathcal C$ と書く。$\mathcal C$ への射影子を $\hat P=| 0_{\mathrm L} \rangle \langle 0_{\mathrm L} |+| 1_{\mathrm L} \rangle \langle 1_{\mathrm L} |$ とする。

誤りとして、どれか1つの量子ビットに $X$ が当たったとする。たとえば $X_1$ なら状態は $\alpha| 100 \rangle +\beta| 011 \rangle$ になる。どの量子ビットが反転したかを知るには、個々の量子ビットを $Z$ で測るのでなく、2つの量子ビットの偶奇だけを測る。$Z_1Z_2$ は $| 000 \rangle$ にも $| 111 \rangle$ にも固有値 $+1$ を与え、$X_1$ が当たった後の $| 100 \rangle$ にも $| 011 \rangle$ にも固有値 $-1$ を与える。つまり $Z_1Z_2$ と $Z_2Z_3$ の測定値は、どの誤りが起きたかだけで決まり、$\alpha$ と $\beta$ には少しも依らない。測定値の組をシンドロームと呼ぶ。対応は

$$(Z_1Z_2,\,Z_2Z_3)=(+,+):\ \text{誤りなし},\quad(-,+):\ X_1,\quad(-,-):\ X_2,\quad(+,-):\ X_3\tag{3.9.3}$$

で、シンドロームを読んだら該当する量子ビットにもう一度 $X$ を当てて戻す。測定は $\alpha$、$\beta$ について何の情報も引き出さないので、重ね合わせは壊れない。2つの偶奇の測定は、補助の量子ビットを2つ用意して制御 NOT で偶奇を写し、補助の方を測ることで実現できる（図 3.9.1）。

各量子ビットに独立に確率 $\varepsilon$ で $X$ が当たるとき、2個以上反転すると多数決が誤った側に戻すので、古典と同じ式 (3.9.1) の確率で論理量子ビットに $X_{\mathrm L}=X_1X_2X_3$ が当たる（例題 3.9.1）。図 3.9.2 が $\varepsilon _{\mathrm L}$ と $\varepsilon$ の比較である。

この符号は $Z$ の誤りを直すことができない。$Z_1$ は $\alpha| 000 \rangle +\beta| 111 \rangle$ を $\alpha| 000 \rangle -\beta| 111 \rangle$ に変え、どのシンドロームも $+$ のままで、しかも結果は論理の $Z_{\mathrm L}=Z_1Z_2Z_3$ を当てたものと同じになる。ビット反転だけに対する符号であって、量子ビットの誤りすべてに対する符号ではない。

比べる2つの状態

誤り訂正が何を守っているかを、相対エントロピーで言い直す。符号空間の中の2つの状態 $\hat\rho$、$\hat\sigma$ を考える。雑音のチャネル $\mathcal N$ を通すと、量子データ処理不等式により

$$D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma))\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\tag{3.9.4}$$

となる（第3部第3章）。$D$ は2つの状態を見分けるときの指数（量子 Stein の補題の意味。第3部第8章、古典は 第1部第8章）なので、左辺が右辺より小さいことは、雑音のせいで2つの状態が見分けにくくなった、つまり論理状態についての情報が失われたことを表す。

ここで、雑音の後に何か操作 $\mathcal R$（回復のチャネル）を施して、符号空間のどの状態も元に戻せたとする。$\mathcal R\circ\mathcal N$ が符号空間の上で恒等写像なので、$\mathcal R$ にもう一度データ処理不等式を当てると

$$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=D(\mathcal R\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal R\mathcal N(\hat\sigma))\le D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma))\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$$

となり、式 (3.9.4) は等号で成り立つ。誤りを訂正できるなら、符号空間のどの2状態の $D$ も雑音で減らない。次の節は、この逆も成り立つこと、すなわち $D$ が減らなければ回復のチャネルが必ず存在することを述べる。この章の比べる2つの状態は「雑音を通した2つの符号状態」で、誤り訂正の理論はその $D$ を守る理論として読める。

1　P. W. Shor (1995), Phys. Rev. A 52, R2493。複製不可能定理は W. K. Wootters and W. H. Zurek (1982), Nature 299, 802。