当てる $D$ の性質：データ処理不等式の等号と回復

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.2　★★★ $D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma))=D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$ と、両方を戻すチャネルの存在が同値であること（Petz の定理）。古典の十分統計量の量子版

古典の場合：十分統計量

第1部第4章（第1部第4章）では、確率行列 $W$ を2つの分布に当てたときの $D(Wp\,\|\,Wq)\le D(p\,\|\,q)$ を示し、等号の条件を調べた。統計量 $T$ について、パラメータのどの2つの値でも $D$ が減らないことは、$T$ が十分統計量であること、すなわち $T$ の値を知れば元のデータを $T$ だけから（パラメータを知らずに）再現できることと同値だった。再現するための確率行列は、$T$ を与えたときのデータの条件付き分布で、それはパラメータに依らない。

量子の場合も筋は同じだが、状態が交換しないので、「条件付き分布」にあたるものを作るのに工夫が要る。

Petz の定理

前の章（第3部第3章）では、状態 $\hat\sigma$ とチャネル $\mathcal N$ から作る Petz の回復写像

$$\mathcal P_{\hat\sigma,\mathcal N}(\hat A)=\hat\sigma^{1/2}\,\mathcal N^\dagger\!\bigl(\mathcal N(\hat\sigma)^{-1/2}\,\hat A\,\mathcal N(\hat\sigma)^{-1/2}\bigr)\,\hat\sigma^{1/2}\tag{3.9.5}$$

を定義し、それがチャネルで $\hat\sigma$ をいつも戻すこと、データ処理不等式の等号が $\mathcal P_{\hat\sigma,\mathcal N}(\mathcal N(\hat\rho))=\hat\rho$ と同値であることを述べた。ここで $\mathcal N^\dagger$ は随伴写像（Kraus 表示 $\mathcal N(\hat A)=\sum_a\hat K_a\hat A\hat K_a^\dagger$ なら $\mathcal N^\dagger(\hat B)=\sum_a\hat K_a^\dagger\hat B\hat K_a$）、$\mathcal N(\hat\sigma)^{-1/2}$ は台の上での逆数の平方根である。誤り訂正で使うために、これを「何でもよいから戻すチャネルがある」という条件と並べて書いておく。

(ii) から (i) は前の節の議論そのもので、$\mathcal N$ と $\mathcal R$ にデータ処理不等式を1回ずつ当てれば挟み撃ちで等号が出る。(iii) から (ii) は、$\mathcal R=\mathcal P_{\hat\sigma,\mathcal N}$ と取ればよい（$\hat\sigma$ はいつも戻る）。(i) から (iii) は、$D$ の等号から具体的な回復写像が出てくるという主張で、証明は Petz による¹1D. Petz (1986), Commun. Math. Phys. 105, 123; D. Petz (1988), Quart. J. Math. Oxford 39, 97。下の脚注へ閉じる。この証明は作用素の単調関数の議論を使うので、ここでは結果を使う。

式 (3.9.5) は、古典のBayes の公式の量子版として読める。古典で $\hat\sigma$ を事前分布 $q(x)$、$\mathcal N$ を通信路 $W(y\,|\,x)$ とすると、$\mathcal P_{q,W}(y\to x)=W(y\,|\,x)q(x)/(Wq)(y)$ は出力 $y$ から入力 $x$ を推す事後分布で、第1部第4章でデータ処理不等式の差を書くのに使った逆向きの条件付き分布と同じものである。$\hat\sigma^{1/2}$ を両側から挟むのは、交換しない行列で「$q(x)$ を掛ける」ことを対称に書くためである。

符号空間全体を戻す

誤り訂正では2つの状態でなく、符号空間 $\mathcal C$ のすべての状態を戻したい。比べる相手を符号空間の完全混合状態 $\hat\sigma_{\mathcal C}=\hat P/\dim\mathcal C$ に固定すると、符号空間のどの状態 $\hat\rho$ も $\operatorname{supp}\hat\rho\subseteq\operatorname{supp}\hat\sigma_{\mathcal C}$ を満たす。Petz の定理を族に広げた形によれば、すべての $\hat\rho$ について$D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma_{\mathcal C}))=D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma_{\mathcal C})$ が成り立つことと、1つの写像 $\mathcal P_{\hat\sigma_{\mathcal C},\mathcal N}$ が符号空間全体を戻すことが同値になる。$\hat\sigma_{\mathcal C}$ を使った Petz の回復写像は誤り訂正の文脈で「転置チャネル」と呼ばれ、等号が近似的にしか成り立たないときにもほぼ最良の回復を与える²2H. Barnum and E. Knill (2002), J. Math. Phys. 43, 2097。$D$ の減り方が小さければ回復の忠実度が高いことを不等式で示した結果は M. Junge, R. Renner, D. Sutter, M. M. Wilde and A. Winter (2018), Ann. Henri Poincaré 19, 2955。下の脚注へ閉じる。