相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第9章 §3.9.3 ★★★ 訂正できる条件 P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = c a b P ^ \hat P\hat E_a^\dagger\hat E_b\hat P=c_{ab}\hat P P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = c ab P ^ I ( R ; E ) = D ( ρ ^ R E ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ E ) = 0 I(R;E)=D(\hat\rho_{RE}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_E)=0 I ( R ; E ) = D ( ρ ^ R E ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ E ) = 0
環境に漏れる情報
雑音のチャネル N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † \mathcal N(\hat\rho)=\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † 第3部第1章 ）。環境の初めの状態を ∣ 0 ⟩ E | 0 \rangle _E ∣0 ⟩ E
V ^ ∣ ψ ⟩ = ∑ a K ^ a ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ a ⟩ E (3.9.6) \hat V| \psi \rangle =\sum_a\hat K_a| \psi \rangle \otimes| a \rangle _E\tag{3.9.6} V ^ ∣ ψ ⟩ = a ∑ K ^ a ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ a ⟩ E ( 3.9.6 )
で、{ ∣ a ⟩ E } \{| a \rangle _E\} { ∣ a ⟩ E }
N c ( ρ ^ ) ≔ Tr Q ( V ^ ρ ^ V ^ † ) = ∑ a , b Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) ∣ a ⟩ ⟨ b ∣ E (3.9.7) \mathcal N^{\mathrm c}(\hat\rho)\coloneqq\operatorname{Tr}_Q\bigl(\hat V\hat\rho\hat V^\dagger\bigr)=\sum_{a,b}\operatorname{Tr}\bigl(\hat K_a\hat\rho\hat K_b^\dagger\bigr)| a \rangle \langle b |_E\tag{3.9.7} N c ( ρ ^ ) : = Tr Q ( V ^ ρ ^ V ^ † ) = a , b ∑ Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) ∣ a ⟩ ⟨ b ∣ E ( 3.9.7 )
が得られる（Q Q Q N c \mathcal N^{\mathrm c} N c 相補チャネル と呼ぶ。雑音とは、系の情報の一部が環境へ写されることである。環境の行列要素 Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) \operatorname{Tr}(\hat K_a\hat\rho\hat K_b^\dagger) Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^
参照系 R R R R R R 1 2 ( ∣ 0 ⟩ R ∣ 0 L ⟩ + ∣ 1 ⟩ R ∣ 1 L ⟩ ) \frac1{\sqrt2}(| 0 \rangle _R| 0_{\mathrm L} \rangle +| 1 \rangle _R| 1_{\mathrm L} \rangle ) 2 1 ( ∣0 ⟩ R ∣ 0 L ⟩ + ∣1 ⟩ R ∣ 1 L ⟩) R R R Q ′ Q' Q ′ E E E 第3部第4章 ）、S ( R Q ′ ) = S ( E ) S(RQ')=S(E) S ( R Q ′ ) = S ( E ) S ( R E ) = S ( Q ′ ) S(RE)=S(Q') S ( R E ) = S ( Q ′ )
I ( R ; Q ′ ) + I ( R ; E ) = [ S ( R ) + S ( Q ′ ) − S ( E ) ] + [ S ( R ) + S ( E ) − S ( Q ′ ) ] = 2 S ( R ) (3.9.8) I(R;Q')+I(R;E)=\bigl[S(R)+S(Q')-S(E)\bigr]+\bigl[S(R)+S(E)-S(Q')\bigr]=2S(R)\tag{3.9.8} I ( R ; Q ′ ) + I ( R ; E ) = [ S ( R ) + S ( Q ′ ) − S ( E ) ] + [ S ( R ) + S ( E ) − S ( Q ′ ) ] = 2 S ( R ) ( 3.9.8 )
を得る。R R R 2 S ( R ) 2S(R) 2 S ( R ) I ( R ; Q ′ ) = 2 S ( R ) I(R;Q')=2S(R) I ( R ; Q ′ ) = 2 S ( R ) R R R (3.9.8) によりそれは
I ( R ; E ) = D ( ρ ^ R E ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ E ) = 0 (3.9.9) I(R;E)=D\bigl(\hat\rho_{RE}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_E\bigr)=0\tag{3.9.9} I ( R ; E ) = D ( ρ ^ R E ∥ ρ ^ R ⊗ ρ ^ E ) = 0 ( 3.9.9 )
と同値である。I ( R ; E ) = 0 I(R;E)=0 I ( R ; E ) = 0 S ( Q ′ ) − S ( E ) S(Q')-S(E) S ( Q ′ ) − S ( E ) コヒーレント情報 と呼び、完全に訂正できる条件を「コヒーレント情報が S ( R ) S(R) S ( R ) 1 1 B. Schumacher and M. A. Nielsen (1996), Phys. Rev. A 54 , 2629。
図 3.9.3 雑音を Stinespring 表示で書いた図。参照系 R R R 2 S ( R ) 2S(R) 2 S ( R ) Q ′ Q' Q ′ E E E I ( R ; E ) = 0 I(R;E)=0 I ( R ; E ) = 0
Knill–Laflamme 条件
I ( R ; E ) = 0 I(R;E)=0 I ( R ; E ) = 0 2 2 E. Knill and R. Laflamme (1997), Phys. Rev. A 55 , 900。{ E ^ a } \{\hat E_a\} { E ^ a }
定理 3.9.2（Knill–Laflamme 条件 ★★★）
符号空間 C \mathcal C C P ^ \hat P P ^ { E ^ a } \{\hat E_a\} { E ^ a }
(i) 符号空間のすべての ρ ^ \hat\rho ρ ^ R ( N ( ρ ^ ) ) = ρ ^ \mathcal R(\mathcal N(\hat\rho))=\hat\rho R ( N ( ρ ^ )) = ρ ^ R \mathcal R R (ii) ある行列 c = ( c a b ) c=(c_{ab}) c = ( c ab ) a , b a,b a , b
P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = c a b P ^ . (3.9.10) \hat P\hat E_a^\dagger\hat E_b\hat P=c_{ab}\hat P .\tag{3.9.10} P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = c ab P ^ . ( 3.9.10 ) (iii) 相補チャネル (3.9.7) が符号空間の上で定数である。すなわち符号空間のすべての ρ ^ \hat\rho ρ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^ D ( N c ( ρ ^ ) ∥ N c ( σ ^ ) ) = 0 D(\mathcal N^{\mathrm c}(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N^{\mathrm c}(\hat\sigma))=0 D ( N c ( ρ ^ ) ∥ N c ( σ ^ )) = 0
証明 (ii) ⇒ \Rightarrow ⇒ ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ = P ^ ρ ^ P ^ \hat\rho=\hat P\hat\rho\hat P ρ ^ = P ^ ρ ^ P ^ Tr ( E ^ a ρ ^ E ^ b † ) = Tr ( P ^ E ^ b † E ^ a P ^ ρ ^ ) = c b a Tr ρ ^ = c b a \operatorname{Tr}(\hat E_a\hat\rho\hat E_b^\dagger)=\operatorname{Tr}(\hat P\hat E_b^\dagger\hat E_a\hat P\hat\rho)=c_{ba}\operatorname{Tr}\hat\rho=c_{ba} Tr ( E ^ a ρ ^ E ^ b † ) = Tr ( P ^ E ^ b † E ^ a P ^ ρ ^ ) = c ba Tr ρ ^ = c ba ρ ^ \hat\rho ρ ^
(iii) ⇒ \Rightarrow ⇒ Tr ( P ^ E ^ b † E ^ a P ^ ρ ^ ) \operatorname{Tr}(\hat P\hat E_b^\dagger\hat E_a\hat P\hat\rho) Tr ( P ^ E ^ b † E ^ a P ^ ρ ^ ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ c b a c_{ba} c ba P ^ E ^ b † E ^ a P ^ − c b a P ^ \hat P\hat E_b^\dagger\hat E_a\hat P-c_{ba}\hat P P ^ E ^ b † E ^ a P ^ − c ba P ^ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.9.10) が出る。
(ii) ⇒ \Rightarrow ⇒ c c c ∑ x ˉ a c a b x b P ^ = P ^ F ^ † F ^ P ^ \sum\bar x_ac_{ab}x_b\,\hat P=\hat P\hat F^\dagger\hat F\hat P ∑ x ˉ a c ab x b P ^ = P ^ F ^ † F ^ P ^ F ^ = ∑ x b E ^ b \hat F=\sum x_b\hat E_b F ^ = ∑ x b E ^ b u u u c = u d i a g ( d k ) u † c=u\,\mathrm{diag}(d_k)\,u^\dagger c = u diag ( d k ) u † F ^ k = ∑ a u a k E ^ a \hat F_k=\sum_au_{ak}\hat E_a F ^ k = ∑ a u ak E ^ a P ^ F ^ k † F ^ l P ^ = d k δ k l P ^ \hat P\hat F_k^\dagger\hat F_l\hat P=d_k\delta_{kl}\hat P P ^ F ^ k † F ^ l P ^ = d k δ k l P ^ d k > 0 d_k>0 d k > 0 k k k U ^ k ≔ F ^ k P ^ / d k \hat U_k\coloneqq\hat F_k\hat P/\sqrt{d_k} U ^ k : = F ^ k P ^ / d k k ≠ l k\ne l k = l P ^ k = U ^ k U ^ k † \hat P_k=\hat U_k\hat U_k^\dagger P ^ k = U ^ k U ^ k † { P ^ k } \{\hat P_k\} { P ^ k } k k k U ^ k † \hat U_k^\dagger U ^ k † R \mathcal R R 1 − ∑ k P ^ k \mathbf 1-\sum_k\hat P_k 1 − ∑ k P ^ k N ( ρ ^ ) = ∑ k d k U ^ k ρ ^ U ^ k † \mathcal N(\hat\rho)=\sum_kd_k\hat U_k\hat\rho\hat U_k^\dagger N ( ρ ^ ) = ∑ k d k U ^ k ρ ^ U ^ k † R ( N ( ρ ^ ) ) = ∑ k d k ρ ^ = ρ ^ \mathcal R(\mathcal N(\hat\rho))=\sum_kd_k\hat\rho=\hat\rho R ( N ( ρ ^ )) = ∑ k d k ρ ^ = ρ ^ ∑ k d k = Tr c = 1 \sum_kd_k=\operatorname{Tr} c=1 ∑ k d k = Tr c = 1
(i) ⇒ \Rightarrow ⇒ R \mathcal R R { R ^ m } \{\hat R_m\} { R ^ m } R ∘ N \mathcal R\circ\mathcal N R ∘ N R ^ m E ^ a \hat R_m\hat E_a R ^ m E ^ a ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∑ m , a R ^ m E ^ a ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ E ^ a † R ^ m † = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \sum_{m,a}\hat R_m\hat E_a| \psi \rangle \langle \psi |\hat E_a^\dagger\hat R_m^\dagger=| \psi \rangle \langle \psi | ∑ m , a R ^ m E ^ a ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ E ^ a † R ^ m † = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ R ^ m E ^ a ∣ ψ ⟩ \hat R_m\hat E_a| \psi \rangle R ^ m E ^ a ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ R ^ m E ^ a P ^ = λ m a P ^ \hat R_m\hat E_a\hat P=\lambda_{ma}\hat P R ^ m E ^ a P ^ = λ ma P ^ ∑ m R ^ m † R ^ m = 1 \sum_m\hat R_m^\dagger\hat R_m=\mathbf 1 ∑ m R ^ m † R ^ m = 1 P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = ∑ m P ^ E ^ a † R ^ m † R ^ m E ^ b P ^ = ( ∑ m λ ˉ m a λ m b ) P ^ \hat P\hat E_a^\dagger\hat E_b\hat P=\sum_m\hat P\hat E_a^\dagger\hat R_m^\dagger\hat R_m\hat E_b\hat P=\bigl(\sum_m\bar\lambda_{ma}\lambda_{mb}\bigr)\hat P P ^ E ^ a † E ^ b P ^ = ∑ m P ^ E ^ a † R ^ m † R ^ m E ^ b P ^ = ( ∑ m λ ˉ ma λ mb ) P ^
(iii) は、環境に残る状態から論理状態について何も推せないということで、前の小節の I ( R ; E ) = 0 I(R;E)=0 I ( R ; E ) = 0 N c ( ρ ^ ) \mathcal N^{\mathrm c}(\hat\rho) N c ( ρ ^ )
誤りの離散化
条件 (3.9.10) は E ^ a \hat E_a E ^ a E ^ a † \hat E_a^\dagger E ^ a † { E ^ a } \{\hat E_a\} { E ^ a } F ^ = ∑ a f a E ^ a \hat F=\sum_af_a\hat E_a F ^ = ∑ a f a E ^ a 1 , X , Y , Z \mathbf 1,X,Y,Z 1 , X , Y , Z X j , Y j , Z j X_j,Y_j,Z_j X j , Y j , Z j
Shor の9量子ビット符号は、X X X Z Z Z ∣ ± ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ ± ∣ 1 ⟩ ) / 2 | \pm \rangle =(| 0 \rangle \pm| 1 \rangle )/\sqrt2 ∣ ± ⟩ = ( ∣0 ⟩ ± ∣1 ⟩) / 2 ∣ 0 L ⟩ = ∣ + + + ⟩ | 0_{\mathrm L} \rangle =| {+}{+}{+} \rangle ∣ 0 L ⟩ = ∣ + + + ⟩ ∣ 1 L ⟩ = ∣ − − − ⟩ | 1_{\mathrm L} \rangle =| {-}{-}{-} \rangle ∣ 1 L ⟩ = ∣ − − − ⟩ ∣ 0 L ⟩ ∝ ( ∣ 000 ⟩ + ∣ 111 ⟩ ) ⊗ 3 | 0_{\mathrm L} \rangle \propto(| 000 \rangle +| 111 \rangle )^{\otimes3} ∣ 0 L ⟩ ∝ ( ∣000 ⟩ + ∣111 ⟩ ) ⊗ 3 ∣ 1 L ⟩ ∝ ( ∣ 000 ⟩ − ∣ 111 ⟩ ) ⊗ 3 | 1_{\mathrm L} \rangle \propto(| 000 \rangle -| 111 \rangle )^{\otimes3} ∣ 1 L ⟩ ∝ ( ∣000 ⟩ − ∣111 ⟩ ) ⊗ 3 X X X Z Z Z Y = i X Z Y=\mathrm{i} XZ Y = i X Z
例題 3.9.3 ビット反転符号で環境に移る情報 ★★
オリジナル ビット反転符号 (3.9.2) を参照系 R R R ε = 0.1 \varepsilon =0.1 ε = 0.1
(1) 誤りの組 { 1 , X 1 , X 2 , X 3 } \{\mathbf 1,X_1,X_2,X_3\} { 1 , X 1 , X 2 , X 3 } c a b c_{ab} c ab (2) Kraus 演算子 1 − 3 ε 1 \sqrt{1-3\varepsilon }\,\mathbf 1 1 − 3 ε 1 ε X j \sqrt\varepsilon \,X_j ε X j j = 1 , 2 , 3 j=1,2,3 j = 1 , 2 , 3 S ( E ) S(E) S ( E ) I ( R ; E ) I(R;E) I ( R ; E ) (3) Kraus 演算子 1 − ε 1 \sqrt{1-\varepsilon }\,\mathbf 1 1 − ε 1 ε Z 1 \sqrt\varepsilon \,Z_1 ε Z 1 I ( R ; E ) I(R;E) I ( R ; E )
解答 (1) P ^ X j X k P ^ \hat P X_j X_k\hat P P ^ X j X k P ^ j = k j=k j = k X j 2 = 1 X_j^2=\mathbf 1 X j 2 = 1 P ^ \hat P P ^ j ≠ k j\ne k j = k X j X k X_jX_k X j X k ∣ 000 ⟩ | 000 \rangle ∣000 ⟩ ∣ 110 ⟩ | 110 \rangle ∣110 ⟩ P ^ X j X k P ^ = 0 \hat PX_jX_k\hat P=0 P ^ X j X k P ^ = 0 P ^ 1 X j P ^ \hat P\,\mathbf 1\,X_j\hat P P ^ 1 X j P ^ X j ∣ 000 ⟩ X_j| 000 \rangle X j ∣000 ⟩ 0 0 0 c a b = δ a b c_{ab}=\delta_{ab} c ab = δ ab (3.9.10) を満たす。
(2) (ii) ⇒ \Rightarrow ⇒ Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) = w a w b c b a \operatorname{Tr}(\hat K_a\hat\rho\hat K_b^\dagger)=\sqrt{w_aw_b}\,c_{ba} Tr ( K ^ a ρ ^ K ^ b † ) = w a w b c ba w = ( 0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.1 ) w=(0.7,0.1,0.1,0.1) w = ( 0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.1 ) d i a g ( 0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.1 ) \mathrm{diag}(0.7,0.1,0.1,0.1) diag ( 0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.1 )
S ( E ) = − 0.7 ln 0.7 − 3 × 0.1 ln 0.1 = 0.2497 + 0.6908 = 0.9404. S(E)=-0.7\ln0.7-3\times0.1\ln0.1=0.2497+0.6908=0.9404 . S ( E ) = − 0.7 ln 0.7 − 3 × 0.1 ln 0.1 = 0.2497 + 0.6908 = 0.9404.
環境は乱されているが、その状態は論理状態に依らないので ρ ^ R E = ρ ^ R ⊗ ρ ^ E \hat\rho_{RE}=\hat\rho_R\otimes\hat\rho_E ρ ^ R E = ρ ^ R ⊗ ρ ^ E I ( R ; E ) = 0 I(R;E)=0 I ( R ; E ) = 0
(3) Z 1 Z_1 Z 1 Z L Z_{\mathrm L} Z L P ^ Z 1 P ^ = Z L P ^ \hat PZ_1\hat P=Z_{\mathrm L}\hat P P ^ Z 1 P ^ = Z L P ^ P ^ \hat P P ^ (3.9.10) が a = 1 a=\mathbf 1 a = 1 b = Z 1 b=Z_1 b = Z 1 ε \varepsilon ε R R R S ( R ) = ln 2 S(R)=\ln2 S ( R ) = ln 2 S ( E ) = h b ( ε ) S(E)=h_{\mathrm b}(\varepsilon ) S ( E ) = h b ( ε ) R R R ⟨ Z L ⟩ = 0 \langle Z_{\mathrm L} \rangle =0 ⟨ Z L ⟩ = 0 S ( R E ) = S ( Q ′ ) = ln 2 S(RE)=S(Q')=\ln2 S ( R E ) = S ( Q ′ ) = ln 2
I ( R ; E ) = ln 2 + h b ( 0.1 ) − ln 2 = h b ( 0.1 ) = 0.3251. I(R;E)=\ln2+h_{\mathrm b}(0.1)-\ln2=h_{\mathrm b}(0.1)=0.3251 . I ( R ; E ) = ln 2 + h b ( 0.1 ) − ln 2 = h b ( 0.1 ) = 0.3251.
論理量子ビットの Z L Z_{\mathrm L} Z L 0.3251 0.3251 0.3251 (3.9.8) により出力には 2 ln 2 − 0.3251 2\ln2-0.3251 2 ln 2 − 0.3251
1 B. Schumacher and M. A. Nielsen (1996), Phys. Rev. A 54 , 2629。
2 E. Knill and R. Laflamme (1997), Phys. Rev. A 55 , 900。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
