出てくるもの2：スタビライザー形式

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.4　★★★ 符号空間を交換する Pauli 演算子の同時固有空間で定め、Knill–Laflamme 条件を「誤りの積が安定化群に入るか、どれかの生成元と反交換するか」という交換関係の判定に落とす

Pauli 群と安定化群

$n$ 量子ビットの Pauli 群 $\mathcal G_n$ は、$\{\mathbf 1,X,Y,Z\}$ の $n$ 個のテンソル積に位相 $\pm1,\pm\mathrm{i}$ を掛けたもの全体である。2つの Pauli 演算子は必ず交換するか反交換する。各量子ビットで $X$ と $Z$ のように異なる非自明な Pauli が並ぶ位置の数を数え、それが偶数なら交換、奇数なら反交換する。

符号空間への射影子は $\hat P=\prod_{i=1}^{n-k}\frac12(\mathbf 1+g_i)=\frac{1}{2^{n-k}}\sum_{g\in\mathcal S}g$ である。$\mathbf 1$ 以外の Pauli 演算子のトレースは $0$ なので、和の中で残るのは $g=\mathbf 1$ の項だけで、$\dim\mathcal C=\operatorname{Tr}\hat P=2^n/2^{n-k}=2^k$。$n$ 個の物理量子ビットに $k$ 個の論理量子ビットが入る。$-\mathbf 1\notin\mathcal S$ は、符号空間が $\{0\}$ にならないための条件である。

ビット反転符号は $\mathcal S=\langle Z_1Z_2,\,Z_2Z_3\rangle$（$n=3$、$k=1$）のスタビライザー符号で、シンドローム (3.9.3) は2つの生成元の固有値だった。

シンドロームと訂正の条件

Pauli 誤り $E$ が当たった符号状態 $E| \psi \rangle$ に生成元 $g_i$ を当てると、$g_iE| \psi \rangle =\pm Eg_i| \psi \rangle =\pm E| \psi \rangle$ で、符号は $E$ と $g_i$ が交換するか反交換するかで決まる。$g_i$ を測ると、$E$ と反交換する生成元だけ $-1$ が出る。この $n-k$ ビットの列 $s(E)$ がシンドロームで、$| \psi \rangle$ に依らない。

$\mathcal S$ のすべての元と交換する Pauli 演算子の全体を $\mathsf N(\mathcal S)$ と書く（正規化群）。$\mathsf N(\mathcal S)$ の元はシンドローム $0$ を与え、符号空間を符号空間に写す。そのうち $\mathcal S$ に（位相を除いて）入るものは符号状態に何もしないが、$\mathsf N(\mathcal S)\setminus\mathcal S$ の元は符号空間の中で状態を変える論理演算子である。

逆に $E_a^\dagger E_b$ が論理演算子なら、$E_a$ と $E_b$ は同じシンドロームを与えるのに符号空間の中で違う作用をするので、見分けることができず、条件は破れる。重み（恒等でない因子の数）が最小の論理演算子の重みを符号の距離 $d$ と呼び、$n$・$k$・$d$ をまとめて $[[n,k,d]]$ と書く。重み $t$ 以下の誤りの積は重み $2t$ 以下なので、$2t<d$ すなわち $t=\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 個までの任意の量子ビットの誤りを訂正することができる。ビット反転符号は $Z_1$ が重み1の論理演算子なので、$X$ に限らない誤りに対しては $d=1$ で、何も直すことができない。

5量子ビット符号

任意の1量子ビットの誤りを直す（$d=3$）最小の符号は5量子ビットで、生成元を巡回的に並べた

$$g_1=XZZX\mathbf 1,\quad g_2=\mathbf 1XZZX,\quad g_3=X\mathbf 1XZZ,\quad g_4=ZX\mathbf 1XZ\tag{3.9.12}$$

で書ける（$[[5,1,3]]$）¹1R. Laflamme, C. Miquel, J. P. Paz and W. H. Zurek (1996), Phys. Rev. Lett. 77, 198; C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin and W. K. Wootters (1996), Phys. Rev. A 54, 3824。スタビライザーの形での記述は D. Gottesman (1996), Phys. Rev. A 54, 1862。下の脚注へ閉じる。論理演算子は $X_{\mathrm L}=XXXXX$、$Z_{\mathrm L}=ZZZZZ$ に取れる。どちらも各生成元とは異なる非自明な Pauli が並ぶ位置が2か所なので交換し、互いには5か所なので反交換する。