出てくるもの3：エントロピーで数える符号の限界

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.5　★★ 消失の訂正は $I(R;A)=0$ と同値であることから、劣加法性だけで量子 Singleton 上界 $n-k\ge2(d-1)$ を出し、状態の数え上げの量子 Hamming 上界と並べる

消失と相互情報量

どの量子ビットが失われたかが分かっている誤りを消失と呼ぶ。量子ビットの組 $A$ が消失するとは、$A$ が環境の一部になることなので、3.9.3節の議論で環境を $A$ に置き換えると、参照系 $R$ と最大にもつれさせた符号状態で

$$A\text{ の消失を訂正できる}\iff I(R;A)=D\bigl(\hat\rho_{RA}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_A\bigr)=0\tag{3.9.13}$$

が成り立つ。距離 $d$ の符号では、$\lvert A\rvert \le d-1$ のどの組の消失も訂正することができる。$A$ の上だけに働く誤りの積は重み $d-1$ 以下で、論理演算子になりえないからである。消失は場所が分かっている分だけ易しく、任意の誤りなら $\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 個しか直せない符号でも、消失なら $d-1$ 個まで直すことができる。

量子 Singleton 上界

古典の Singleton 上界は $n-k\ge d-1$ で、量子では右辺が2倍になる。証明の2つの式は $A$ と $B$ を入れ替えた対称な形で、もし $C$ が無ければ、$A$ と $B$ のどちらからも論理状態が復元できることになる。2つの互いに素な部分系がそれぞれ同じ量子状態を持つことは複製不可能定理が禁じていて、係数2はその表れである。エントロピーを使ったこの証明は Cerf と Cleve による¹1N. J. Cerf and R. Cleve (1997), Phys. Rev. A 56, 1721。上界そのものは Knill–Laflamme (1997) にもある。下の脚注へ閉じる。

量子 Hamming 上界

もう1つの限界は数え上げから出る。$t$ 個までの誤りを訂正する符号で、異なる誤りが符号空間を互いに直交する部分空間へ写すとき（非縮退の符号）、重み $j$ の Pauli 誤りは $\binom nj3^j$ 個あり、それぞれが $2^k$ 次元の部分空間を占める。それらが $2^n$ 次元の空間に収まるので

$$2^k\sum_{j=0}^t\binom nj3^j\le2^n .\tag{3.9.14}$$

$3^j$ は各量子ビットに $X,Y,Z$ の3通りの誤りがあることによる（古典の Hamming 上界では $1$）。縮退した符号（異なる誤りが符号空間に同じ作用をする符号）ではこの数え方が使えず、式 (3.9.14) は一般には証明されていない。Singleton 上界の方は縮退の有無によらず成り立つ。