授業で習った形との対応：古典の線形符号と CSS 符号

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.6　★★ 情報理論の授業の検査行列・シンドローム復号・Hamming 符号と、量子情報の授業の Knill–Laflamme 条件の書き方・CSS 符号を、この章の形と並べる

古典の線形符号

情報理論の授業では、長さ $n$ の2進の線形符号を検査行列 $\mathsf H$（$(n-k)\times n$ の 0・1 の行列）で

$$\mathcal C_{\text{古典}}=\{x\in\{0,1\}^n:\ \mathsf Hx=0\ (\mathrm{mod}\ 2)\}$$

と定める（$\mathsf H$ は Shannon エントロピーの $H$ と区別するために字体を変えた）。符号語 $x$ に誤り $e$ が加わった $x+e$ を受け取ると、$\mathsf H(x+e)=\mathsf He$ は符号語に依らず誤りだけで決まる。これがシンドローム $s=\mathsf He$ で、表を引いて $e$ を推し、引き戻す。7ビットの Hamming 符号は、第 $j$ 列が $j$ の2進表示である

$$\mathsf H=\begin{pmatrix}0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\end{pmatrix}\tag{3.9.15}$$

で定まり、1ビットの誤りのシンドロームが誤った位置の番号の2進表示になる（$[7,4,3]$、Hamming 1950¹1R. W. Hamming (1950), Bell Syst. Tech. J. 29, 147。下の脚注へ閉じる）。古典の Hamming 上界 $2^{n-k}\ge\sum_{j\le t}\binom nj$ は $[7,4,3]$ で $2^3=1+7$ の等号になる。

この章の形との対応は次のとおりである。古典の検査行列の各行は「どのビットの偶奇を見るか」で、量子のスタビライザーの生成元 $g_i$ にあたる。古典のシンドローム $\mathsf He$ は量子の $s(E)$ にあたり、どちらも符号語・符号状態に依らず誤りだけで決まる。違いは、量子の誤りが $X$ と $Z$ の2種類（と積の $Y$）あり、生成元にも $X$ 型と $Z$ 型が要ることである。Pauli 演算子 $X^{a_1}Z^{b_1}\otimes\dots\otimes X^{a_n}Z^{b_n}$ を 0・1 の列 $(a\,|\,b)\in\{0,1\}^{2n}$ で表すと、2つの Pauli が交換する条件は

$$a\cdot b'+a'\cdot b=0\pmod 2\tag{3.9.16}$$

となり、スタビライザーの生成元を並べた行列は、古典の検査行列を長さ $2n$ に広げて、行どうしがこの内積で直交するという条件を付けたものになる。

CSS 符号と Steane 符号

$\mathsf H\mathsf H^{\mathsf T}=0$（mod 2）を満たす検査行列があれば、その各行から $X$ 型の生成元（1 の位置に $X$）と $Z$ 型の生成元（1 の位置に $Z$）を作ることができる。$X$ 型と $Z$ 型の生成元で $X$ と $Z$ が並ぶ位置の数は $\mathsf H$ の2つの行の内積なので、$\mathsf H\mathsf H^{\mathsf T}=0$ ならすべて交換する。$Z$ 型の生成元は $X$ の誤りを、$X$ 型の生成元は $Z$ の誤りを、それぞれ古典の符号と同じシンドロームで見つける。この作り方を CSS 符号と呼ぶ²2A. R. Calderbank and P. W. Shor (1996), Phys. Rev. A 54, 1098; A. M. Steane (1996), Phys. Rev. Lett. 77, 793。下の脚注へ閉じる。Hamming 符号 (3.9.15) から作ったものが Steane の $[[7,1,3]]$ 符号である。

量子情報の授業では、Knill–Laflamme 条件を符号空間の正規直交基底 $| i_{\mathrm L} \rangle$ で

$$\langle i_{\mathrm L} |\hat E_a^\dagger\hat E_b| j_{\mathrm L} \rangle =c_{ab}\,\delta_{ij}$$

と書くことが多い。$\hat P=\sum_i| i_{\mathrm L} \rangle \langle i_{\mathrm L} |$ で挟めば式 (3.9.10) と同じ内容である。$i\ne j$ で $0$ は「誤りが違う論理状態を混ぜない」こと、$c_{ab}$ が $i$ に依らないことは「誤りの大きさが論理状態に依らない」ことを表し、後者が 3.9.3節の「環境に残る状態が論理状態に依らない」にあたる。授業ではこの2つの条件を別々に覚えることが多いが、相補チャネルで見ると1つの条件 $I(R;E)=0$ にまとまる。