この章のまとめ

(1) $\hat\rho_0=\frac12(\mathbf 1+rX)$、$\hat\rho_\pi=\frac12(\mathbf 1-rX)$ で、$\hat\Gamma=\frac12(\hat\rho_0-\hat\rho_\pi)=\frac r2X$、$\lVert \hat\Gamma\rVert _1=r$。定理 3.8.4 から $P_{\mathrm{err}}^{\min}=\frac12(1-r)$ で、$X$ を測れば達成される。$r=0.6$ なら $0.2$。

(2) 2つの状態は Bloch ベクトルの長さが同じで向きが反対（なす角 $\pi$）なので、第3部第2章の式 $r\operatorname{artanh}(r)(1-\cos\theta)$ で $\theta=\pi$ として$D=2r\operatorname{artanh}r=r\ln\frac{1+r}{1-r}$。2つは交換するので、これは固有値の分布 $(\frac{1+r}2,\frac{1-r}2)$ と $(\frac{1-r}2,\frac{1+r}2)$ の古典の $D$ でもある。Chernoff 限界は、$Z$ で共役をとると2つの状態が入れ替わるので $s=\frac12$ で最小になり、$\sqrt{\hat\rho_0}=a\mathbf 1+bX$、$\sqrt{\hat\rho_\pi}=a\mathbf 1-bX$（$a,b=\frac12(\sqrt{p_+}\pm\sqrt{p_-})$、$p_\pm=\frac{1\pm r}2$）から $\operatorname{Tr}\sqrt{\hat\rho_0}\sqrt{\hat\rho_\pi}=2(a^2-b^2)=2\sqrt{p_+p_-}=\sqrt{1-r^2}$。よって $\mathcal C=-\frac12\ln(1-r^2)$。$r=0.6$ では $D=0.6\ln4=0.8318$、$\mathcal C=-\frac12\ln0.64=0.2231$。

(3) $\hat\rho_\theta$ の Bloch ベクトルは長さ $r$ を保って $xy$ 面で回るので、例題 3.8.6 と同じ計算で $J_{\mathrm Q}(\theta)=r^2$（$\theta$ によらない）。SLD は $\hat L_\theta=r(-\sin\theta\,X+\cos\theta\,Y)$ で、その固有基底、すなわち Bloch ベクトルに垂直で $xy$ 面内の向き $(-\sin\theta,\cos\theta,0)$ の射影測定で達成される。$\theta$ の近くで $\theta=\pi/2$ だけ回った向きを測ることになり、例題 3.8.8 の $\theta=\pi/2$ で $X$ を測る場合はこれに当たる。

(4) 独立な状態の積では $J_{\mathrm Q}$ が足し算になる（$\hat L=\sum_k\hat L_k$ が積の状態の SLD で、交差項の平均が $\operatorname{Tr}(\hat\rho_k\hat L_k)=0$ により消える）。第1部第7章の古典の加法性 $J_{X^n}=nJ$ と同じ形で、$J_{\mathrm Q}=Nr^2$。

(5) 位相 $N\theta$ で回る長さ $r^N$ の量子ビットなので、(3) の計算で $r\to r^N$、$\theta\to N\theta$ とし、$\theta$ での微分が $N$ 倍になることから$J_{\mathrm Q}=N^2r^{2N}$。$\ln J_{\mathrm Q}=2\ln N+2N\ln r$ を $N$ で微分して $0$ とおくと $N=-1/\ln r=9.49$。整数では$N=9$ で $81\times0.9^{18}=12.16$、$N=10$ で $100\times0.9^{20}=12.16$（$100\times0.81=81$ なので2つは等しい）。独立な状態の $Nr^2$ は $N=10$ で $8.1$ なので、比は $12.16/8.1=1.50$ である。$N=20$ では GHZ 状態の $400\times0.9^{40}=5.91$ に対して独立な状態は $16.2$ で、独立な状態の方が有利になる。位相緩和があると、GHZ 状態のコヒーレンスは $r^N$ と指数関数的に減るので、Heisenberg 限界の $N^2$ の利得は大きな $N$ で失われる。