出てくるもの（3）：近い状態を見分けるときの量子 Fisher 情報と Heisenberg 限界

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第8章 §3.8.5　★★★ パラメータだけが違う $\hat\rho_\theta$ と $\hat\rho_{\theta+\delta}$ を見分けることが推定である。精度の上限は量子 Fisher 情報 $J_{\mathrm Q}$ で、独立な $N$ 個では $1/\sqrt N$、エンタングルした $N$ 個では $1/N$ に達する

近い2状態の $D$ と、測った Fisher 情報

状態の族 $\hat\rho_\theta$ と、ある POVM $\{\hat\Pi_m\}$ を決めると、結果の分布 $p_m(\theta)=\operatorname{Tr}(\hat\rho_\theta\hat\Pi_m)$ は1パラメータの古典の分布の族になる。その Fisher 情報を $J_{\mathrm M}(\theta)$ と書く。第1部第7章（第1部第7章）により、$\nu$ 回くり返して測った結果から作る不偏推定量は$\mathrm{Var}(\hat\theta)\ge1/(\nu J_{\mathrm M}(\theta))$ を満たす。問題は、測定を選んで $J_{\mathrm M}$ をどこまで大きくできるかである。

古典の Fisher 情報は $D(p_\theta\,\|\,p_{\theta+\delta})=\frac12J\delta^2+\mathcal{O}(\delta^3)$ の係数だった。量子でも同じく

$$D(\hat\rho_\theta\,\|\,\hat\rho_{\theta+\delta})=\frac12J_{\mathrm{KM}}(\theta)\,\delta^2+\mathcal{O}(\delta^3)\tag{3.8.16}$$

と係数を定めると、データ処理不等式 (3.8.5) を $\delta^2$ の係数に移して $J_{\mathrm M}\le J_{\mathrm{KM}}$ が出る（添字 KM は Kubo と Mori の名による）。しかし量子では、この上限は一般には測定で達成することができない。達成できる上限は次に定める別の量である。

対称対数微分と量子 Fisher 情報

古典の Fisher 情報は $\partial_\theta p=p\,\partial_\theta\ln p$ のスコア $\partial_\theta\ln p$ の2乗平均だった。量子では $\hat\rho$ と $\partial_\theta\hat\rho$ が交換しないので「$\hat\rho$ を掛けて微分を割る」順序が一通りに決まらず、左右の平均を取ったものが SLD である。$\hat\rho_\theta$ が $\theta$ によらず同じ基底で対角なら$(\partial_\theta\hat\rho)_{ij}$ は対角成分 $\partial_\theta p_i$ だけになり、式 (3.8.18) の3つの量はどれも古典の $\sum_i(\partial_\theta p_i)^2/p_i$ に一致する。

証明

左の不等式：$\partial_\theta p_m=\operatorname{Tr}(\partial_\theta\hat\rho\,\hat\Pi_m)=\operatorname{Re}\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L\hat\Pi_m)$ である（$\hat L$ の定義と、$\operatorname{Tr}(\hat L\hat\rho\hat\Pi_m)$ が $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L\hat\Pi_m)$ の複素共役であることによる）。Cauchy–Schwarz の不等式を内積 $(\hat A,\hat B)\mapsto\operatorname{Tr}(\hat A^\dagger\hat B)$ で $\hat A=\hat\Pi_m^{1/2}\hat\rho^{1/2}$、$\hat B=\hat\Pi_m^{1/2}\hat L\hat\rho^{1/2}$ に使うと$\lvert \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L\hat\Pi_m)\rvert ^2\le\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\Pi_m)\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L\hat\Pi_m\hat L)$ なので

$$J_{\mathrm M}=\sum_m\frac{(\partial_\theta p_m)^2}{p_m}\le\sum_m\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L\hat\Pi_m\hat L)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L^2)=J_{\mathrm Q}.$$

$\hat\Pi_m$ が $\hat L$ の固有射影子なら $\hat\Pi_m^{1/2}\hat L=\ell_m\hat\Pi_m^{1/2}$ で $\hat B=\ell_m\hat A$ となり、Cauchy–Schwarz と $\operatorname{Re}$ の両方で等号が成り立つ。

右の不等式：正の数 $a,b$ の対数平均 $(a-b)/(\ln a-\ln b)$ は算術平均 $(a+b)/2$ 以下なので、$\frac{\ln p_i-\ln p_j}{p_i-p_j}\ge\frac{2}{p_i+p_j}$。式 (3.8.18) の各項を比べればよい。

古典では、データ処理不等式で減らない計量は Fisher 情報の定数倍に限られる（Čencov の定理）。量子ではそのような計量が1つに決まらず、SLD の $J_{\mathrm Q}$ が最小、$D$ の2次の係数 $J_{\mathrm{KM}}$ はその1つという系列になる²2D. Petz (1996), Linear Algebra Appl. 244, 81。下の脚注へ閉じる。測定で達成できるのは最小のもので、$D$ から読んだ値は一般に達成することができない。これは 3.8.4節で1個ずつ測ると $D_{\mathrm M}<D$ だったことと同じ事情である。忠実度 (3.8.6) の2次の展開には $J_{\mathrm Q}$ が現れる：

$$F(\hat\rho_\theta,\hat\rho_{\theta+\delta})=1-\frac18J_{\mathrm Q}(\theta)\,\delta^2+\mathcal{O}(\delta^3).\tag{3.8.20}$$

純粋状態 $| \psi_\theta \rangle$ では $J_{\mathrm Q}=4\bigl(\langle \partial_\theta\psi | \partial_\theta\psi \rangle -\lvert \langle \psi | \partial_\theta\psi \rangle \rvert ^2\bigr)$ で、異なる純粋状態どうしの $D$ は無限大なので $J_{\mathrm{KM}}=+\infty$ になる。純粋状態の推定では、$J_{\mathrm Q}$ だけが意味を持つ。

ユニタリで書き込まれた位相：標準量子限界と Heisenberg 限界

パラメータがユニタリ $\hat\rho_\theta=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat G}\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\hat G}$ で書き込まれる場合を考える（$\hat G$ はエルミートな生成子）。純粋状態 $| \psi_\theta \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat G}| \psi \rangle$ では $| \partial_\theta\psi \rangle =-\mathrm{i}\hat G| \psi_\theta \rangle$ なので

$$J_{\mathrm Q}=4\bigl(\langle \hat G^2 \rangle -\langle \hat G \rangle ^2\bigr)=4(\Delta G)^2\tag{3.8.21}$$

となる。混合状態では $J_{\mathrm Q}$ が $\hat\rho$ について凸なので $J_{\mathrm Q}\le4(\Delta G)^2$ である。どちらでも、量子 Cramér–Rao の不等式は

$$\Delta\theta\ge\frac{1}{\sqrt\nu\,\sqrt{J_{\mathrm Q}}}\ge\frac{1}{2\sqrt\nu\,\Delta G}\tag{3.8.22}$$

になる。精度の上限は、生成子の揺らぎ $\Delta G$ だけで決まる。

$N$ 個の量子ビットのそれぞれに位相 $\theta$ を書き込む場合、$\hat G=\frac12\sum_{k=1}^NZ_k$ である（$Z_k$ は $k$ 番目の量子ビットの $Z$）。

• 独立な状態 $| + \rangle ^{\otimes N}$（$| \pm \rangle =(| 0 \rangle \pm| 1 \rangle )/\sqrt2$）では、各量子ビットの $Z_k/2$ の分散が $\frac14$ で、独立なので分散が足し合わさり $(\Delta G)^2=N/4$。$J_{\mathrm Q}=N$、$\Delta\theta\ge1/\sqrt{\nu N}$ となる。これを標準量子限界と呼ぶ。
• GHZ 状態 $(| 0 \rangle ^{\otimes N}+| 1 \rangle ^{\otimes N})/\sqrt2$ では、$\hat G$ の値が $\pm N/2$ を確率 $\frac12$ ずつとるので $(\Delta G)^2=N^2/4$。$J_{\mathrm Q}=N^2$、$\Delta\theta\ge1/(\sqrt\nu N)$ となる。これを Heisenberg 限界と呼ぶ。

$\hat G$ の固有値は $-N/2$ から $N/2$ の範囲にあるので、どんな状態でも $(\Delta G)^2\le N^2/4$ で、Heisenberg 限界より良くはならない。一方、エンタングルしていない状態（積の状態の混合）では $J_{\mathrm Q}\le N$ である。積の状態では $J_{\mathrm Q}$ が足し算になって $\sum_k4(\Delta(Z_k/2))^2\le N$、その混合では $J_{\mathrm Q}$ の凸性により同じ上限が残るからである。$J_{\mathrm Q}$ を $N$ より大きくするには、エンタングルメントが要る³3V. Giovannetti, S. Lloyd and L. Maccone (2006), Phys. Rev. Lett. 96, 010401。下の脚注へ閉じる。

GHZ 状態が速く進む理由は、位相の進み方を見ると分かる。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat G}$ は $| 0 \rangle ^{\otimes N}$ に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} N\theta/2}$、$| 1 \rangle ^{\otimes N}$ に $\mathrm{e}^{\mathrm{i} N\theta/2}$ を掛けるので、2つの成分の相対位相は $N\theta$ で進む。1個の量子ビットの $N$ 倍の速さで回る1つの量子ビットとみなせ、$J_{\mathrm Q}$ は $N^2$ 倍になる。ただし、雑音があるとこの利得は大きく減る。各量子ビットのコヒーレンスが $r<1$ 倍に減る（位相緩和）と、GHZ 状態の2成分のコヒーレンスは $r^N$ 倍に減る。総合問題（3.8.7節）でこの様子を計算する。位相緩和があると、$N\to\infty$ で標準量子限界に対して得られる改善は定数倍にとどまることが知られている⁴4R. Demkowicz-Dobrzański, J. Kołodyński and M. Guţă (2012), Nat. Commun. 3, 1063。下の脚注へ閉じる。

1　S. L. Braunstein and C. M. Caves (1994), Phys. Rev. Lett. 72, 3439。

2　D. Petz (1996), Linear Algebra Appl. 244, 81。

3　V. Giovannetti, S. Lloyd and L. Maccone (2006), Phys. Rev. Lett. 96, 010401。

4　R. Demkowicz-Dobrzański, J. Kołodyński and M. Guţă (2012), Nat. Commun. 3, 1063。