出てくるもの（1）：Ramsey 分光と量子射影雑音

光学と量子エレクトロニクス　第28章 §28.2　★★★ 縞の傾きが最大の点で励起の確率を測ると、周波数のずれが確率のずれに変わる。原子 $N$ 個の測定の二項分布の揺らぎ（量子射影雑音）から、安定度 $\sigma_y(\tau)=\frac{1}{2\pi\nu_0t_{\mathrm f}}\sqrt{t_{\mathrm c}/(N\tau)}$ が出る

縞の傾きでずれを読む

第24章の Ramsey の縞を、パルスが自由な時間に比べて十分短い極限で書くと、2つ目のパルスの後に原子が励起状態にいる確率は

$$P_e(\Delta)=\cos^2\frac{\Delta t_{\mathrm f}}{2}=\frac12\bigl(1+\cos\Delta t_{\mathrm f}\bigr)\tag{28.5}$$

である。Bloch 球の上では、1つ目の $\pi/2$ パルスで赤道に倒れた Bloch ベクトルが、自由な時間の間に回転座標で角 $\Delta t_{\mathrm f}$ だけ回り、その角が2つ目のパルスの後の高さに変わる。したがって Ramsey 分光は、原子の重ね合わせの位相と局部発振器の位相の差を、自由な時間のあいだ積算して読む位相の測定である。

時計を動かすときは、縞の頂上（$\Delta=0$）で測らない。頂上では $\frac{\mathrm{d} P_e}{\mathrm{d} \Delta}=0$ で、小さなずれが確率を1次で変えず、ずれの符号もわからないからである。代わりに、局部発振器の周波数を中心から $\pm\Delta_{\mathrm m}$ だけずらして交互に測る。式 (28.5) を微分すると

$$\frac{\mathrm{d} P_e}{\mathrm{d} \Delta}=-\frac{t_{\mathrm f}}{2}\sin\Delta t_{\mathrm f}\tag{28.6}$$

で、傾きの大きさは $\Delta_{\mathrm m}t_{\mathrm f}=\pi/2$ で最大値 $t_{\mathrm f}/2$ をとる。この点では $P_e=1/2$ で、縞の高さの半分にあたる（図 28.1）。両側で測った $P_e$ の差は、中心が $\delta$ だけずれていれば $2\times(t_{\mathrm f}/2)\delta=t_{\mathrm f}\delta$ になり、符号でずれの向きがわかる。この差を $0$ に保つように局部発振器を制御する。

量子射影雑音

1回の測定では、$N$ 個の原子を Ramsey の手順に通し、励起状態にいる原子の数 $N_e$ を数える。2つ目のパルスの後、各原子は $\sqrt{1-P_e}| g \rangle +\sqrt{P_e}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}| e \rangle$ の重ね合わせにあり、状態を測ると確率 $P_e$ で $| e \rangle$ に、$1-P_e$ で $| g \rangle$ に落ちる。原子が互いに独立なら、$N_e$ は二項分布に従い、推定した確率 $\hat P_e=N_e/N$ の標準偏差は

$$\sigma_{P}=\sqrt{\frac{P_e(1-P_e)}{N}}\tag{28.7}$$

である。原子の数え方の技術を完全にしても残るこの揺らぎを量子射影雑音と呼ぶ（Itano たち 1993、Phys. Rev. A 47, 3554）。測定が状態を $| g \rangle$ か $| e \rangle$ に射影することによる揺らぎだからである。

動作点 $P_e=1/2$ では $\sigma_P=1/(2\sqrt N)$ で、これを傾き $t_{\mathrm f}/2$ で割ると、1回の測定で決まる離調の不確かさは

$$\delta\Delta=\frac{\sigma_P}{t_{\mathrm f}/2}=\frac{1}{t_{\mathrm f}\sqrt N}\tag{28.8}$$

になる。原子1個あたりの位相の不確かさは $1/\sqrt N$ で、これは独立な $N$ 個の量子系で位相を測るときの標準量子限界である（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章）。動作点で $P_e(1-P_e)$ が最大になっていても、傾きも最大なので、比 $\sigma_P/\lvert \mathrm{d} P_e/\mathrm{d}\Delta\rvert$ は動作点で最小になる。

安定度と Allan 分散

1回の測定の周期を $t_{\mathrm c}$（原子の準備・冷却・Ramsey の手順・検出を合わせた時間で、$t_{\mathrm f}$ より長い）とする。時間 $\tau$ のあいだには $\tau/t_{\mathrm c}$ 回の独立な測定ができ、平均した不確かさは $\sqrt{t_{\mathrm c}/\tau}$ 倍に下がる。角周波数を周波数に直し（$2\pi$ で割り）、$\nu_0$ で割ると、相対的な周波数の不確かさは

$$\sigma_y(\tau)=\frac{1}{2\pi\nu_0t_{\mathrm f}}\sqrt{\frac{t_{\mathrm c}}{N\tau}}\tag{28.9}$$

になる。$\nu_0t_{\mathrm f}$ は式 (28.2) の Q 値の半分なので、$\sigma_y(\tau)=\frac{1}{\pi Q}\sqrt{t_{\mathrm c}/(N\tau)}$ とも書ける。Q 値と原子の数の平方根が大きいほど安定な時計になる。

時計の揺らぎを表すのに、ふつうの標準偏差は使えない。発振器の周波数は時間とともにゆっくり漂い、標準偏差は測る時間を延ばすほど大きくなって定まらないことがある。代わりに、長さ $\tau$ の区間ごとに平均した $\bar y_k$ を作り、隣り合う区間の差の2乗の平均の半分

$$\sigma_y^2(\tau)=\frac12\langle (\bar y_{k+1}-\bar y_k)^2 \rangle\tag{28.10}$$

を使う。これを Allan 分散と呼ぶ（D. W. Allan 1966、Proc. IEEE 54, 221）。隣どうしの差を取るので、$y$ の一定のずれは消え、ゆっくりした漂いも小さく抑えられる。$y$ が各時刻で独立に揺らぐ雑音（白色周波数雑音）なら、Allan 分散は区間の平均の分散そのものになり、$\sigma_y(\tau)\propto\tau^{-1/2}$ になる（28.6節の例題）。量子射影雑音は各回の測定で独立なので、この白色周波数雑音として現れ、式 (28.9) はその Allan 標準偏差である。

量子射影雑音の限界に実際に届くには、局部発振器自身の揺らぎが十分小さい必要がある。測定の周期のうち原子を準備する時間は原子が発振器を見ていないので、その間の発振器の揺らぎが測定の結果に折り返して入る（Dick 効果と呼ばれる）。光の時計では、時計のレーザーを超低膨張ガラスや単結晶シリコンで作った光共振器（第5章）に合わせて、秒の程度の時間でまず安定にしておく。