相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第8章 §3.8.6 ★★ 実験の誤差伝播の公式・Robertson の不確定性関係・時間とエネルギーの関係・干渉計のショット雑音は、量子 Cramér–Rao の不等式の特別な場合として並べられる
誤差伝播の公式
学部の実験では、観測量 O ^ \hat O O ^ ⟨ O ^ ⟩ θ \langle \hat O \rangle _\theta ⟨ O ^ ⟩ θ
Δ θ e p = Δ O ∣ ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ θ ∣ (3.8.23) \Delta\theta_{\mathrm{ep}}=\frac{\Delta O}{\lvert \partial_\theta\langle \hat O \rangle _\theta\rvert }\tag{3.8.23} Δ θ ep = ∣ ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ θ ∣ Δ O ( 3.8.23 )
を1回の測定の誤差とする。この誤差は量子 Fisher 情報で下から押さえられる。∂ θ ⟨ O ^ ⟩ = Tr ( ∂ θ ρ ^ O ^ ) = Re Tr ( ρ ^ L ^ ( O ^ − ⟨ O ^ ⟩ ) ) \partial_\theta\langle \hat O \rangle =\operatorname{Tr}(\partial_\theta\hat\rho\,\hat O)=\operatorname{Re}\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\hat L(\hat O-\langle \hat O \rangle )\bigr) ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ = Tr ( ∂ θ ρ ^ O ^ ) = Re Tr ( ρ ^ L ^ ( O ^ − ⟨ O ^ ⟩) ) Tr ( ρ ^ L ^ ) = Tr ∂ θ ρ ^ = 0 \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L)=\operatorname{Tr}\partial_\theta\hat\rho=0 Tr ( ρ ^ L ^ ) = Tr ∂ θ ρ ^ = 0 ⟨ O ^ ⟩ \langle \hat O \rangle ⟨ O ^ ⟩ ∣ ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ ∣ 2 ≤ Tr ( ρ ^ L ^ 2 ) ( Δ O ) 2 \lvert \partial_\theta\langle \hat O \rangle \rvert ^2\le\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat L^2)\,(\Delta O)^2 ∣ ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ ∣ 2 ≤ Tr ( ρ ^ L ^ 2 ) ( Δ O ) 2
Δ θ e p ≥ 1 J Q ( θ ) . (3.8.24) \Delta\theta_{\mathrm{ep}}\ge\frac{1}{\sqrt{J_{\mathrm Q}(\theta)}}.\tag{3.8.24} Δ θ ep ≥ J Q ( θ ) 1 . ( 3.8.24 )
誤差伝播の公式は、平均だけを使う推定（線形化した推定）の誤差で、結果の分布をすべて使う推定より良くはなりえない。観測量 O ^ \hat O O ^
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 推定値のずれ ∣ θ ^ − θ ∣ \lvert \hat\theta-\theta\rvert ∣ θ ^ − θ ∣ ⟨ O ^ ⟩ θ \langle \hat O \rangle _\theta ⟨ O ^ ⟩ θ 証明 条件付き（⟨ O ^ ⟩ θ \langle \hat O \rangle _\theta ⟨ O ^ ⟩ θ 0 0 0 行き先 近似の数理 第1章
Robertson の不確定性関係
ユニタリで書き込んだ場合 ρ ^ θ = e − i θ G ^ ρ ^ e i θ G ^ \hat\rho_\theta=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat G}\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\hat G} ρ ^ θ = e − i θ G ^ ρ ^ e i θ G ^ ∂ θ ρ ^ θ = − i [ G ^ , ρ ^ θ ] \partial_\theta\hat\rho_\theta=-\mathrm{i}\left[\hat G,\,\hat\rho_\theta\right] ∂ θ ρ ^ θ = − i [ G ^ , ρ ^ θ ] ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ = − i Tr ( [ G ^ , ρ ^ ] O ^ ) = i ⟨ [ G ^ , O ^ ] ⟩ \partial_\theta\langle \hat O \rangle =-\mathrm{i}\operatorname{Tr}(\left[\hat G,\,\hat\rho\right]\hat O)=\mathrm{i}\langle \left[\hat G,\,\hat O\right] \rangle ∂ θ ⟨ O ^ ⟩ = − i Tr ( [ G ^ , ρ ^ ] O ^ ) = i ⟨ [ G ^ , O ^ ] ⟩ ∣ ⟨ [ O ^ , G ^ ] ⟩ ∣ \lvert \langle \left[\hat O,\,\hat G\right] \rangle \rvert ∣⟨ [ O ^ , G ^ ] ⟩∣
Δ O Δ G ≥ 1 2 ∣ ⟨ [ O ^ , G ^ ] ⟩ ∣ (3.8.25) \Delta O\,\Delta G\ge\frac12\lvert \langle \left[\hat O,\,\hat G\right] \rangle \rvert\tag{3.8.25} Δ O Δ G ≥ 2 1 ∣⟨ [ O ^ , G ^ ] ⟩∣ ( 3.8.25 )
を式 (3.8.23) に入れると Δ θ e p ≥ 1 / ( 2 Δ G ) \Delta\theta_{\mathrm{ep}}\ge1/(2\Delta G) Δ θ ep ≥ 1/ ( 2Δ G ) (3.8.22) （ν = 1 \nu=1 ν = 1 G ^ \hat G G ^ θ \theta θ
時間とエネルギー
G ^ = H ^ / ℏ \hat G=\hat H/\hbar G ^ = H ^ /ℏ θ = t \theta=t θ = t ρ ^ t = e − i H ^ t / ℏ ρ ^ e i H ^ t / ℏ \hat\rho_t=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} ρ ^ t = e − i H ^ t /ℏ ρ ^ e i H ^ t /ℏ (3.8.22) は経過時間の推定の限界
Δ t ≥ ℏ 2 ν Δ E (3.8.26) \Delta t\ge\frac{\hbar}{2\sqrt\nu\,\Delta E}\tag{3.8.26} Δ t ≥ 2 ν Δ E ℏ ( 3.8.26 )
になる（Δ E \Delta E Δ E Δ t Δ E ≳ ℏ / 2 \Delta t\,\Delta E\gtrsim\hbar/2 Δ t Δ E ≳ ℏ/2 (3.8.25) の形に書くことはできない。推定の限界として書けば、Δ t \Delta t Δ t π ℏ / ( 2 Δ E ) \pi\hbar/(2\Delta E) π ℏ/ ( 2Δ E ) 1 1 L. Mandelstam and I. Tamm (1945), J. Phys. (USSR) 9 , 249。
干渉計のショット雑音
光の干渉計で位相差 ϕ \phi ϕ N N N Δ ϕ ≈ 1 / N \Delta\phi\approx1/\sqrt N Δ ϕ ≈ 1/ N N N N 1 / N 1/\sqrt N 1/ N e − r s q \mathrm{e}^{-r_{\mathrm{sq}}} e − r sq r s q r_{\mathrm{sq}} r sq 2 2 C. M. Caves (1981), Phys. Rev. D 23 , 1693。光学と量子エレクトロニクス 第31章 で扱う。
例題 3.8.8 Ramsey 型の測定の誤差 ★★
オリジナル 位相緩和で Bloch ベクトルの長さが r r r ρ ^ θ = 1 2 ( 1 + r ( cos θ X + sin θ Y ) ) \hat\rho_\theta=\frac12\bigl(\mathbf 1+r(\cos\theta\,X+\sin\theta\,Y)\bigr) ρ ^ θ = 2 1 ( 1 + r ( cos θ X + sin θ Y ) ) X X X θ \theta θ
誤差伝播の公式 (3.8.23) で Δ θ e p ( θ ) \Delta\theta_{\mathrm{ep}}(\theta) Δ θ ep ( θ )
θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 1 / J Q = 1 / r 1/\sqrt{J_{\mathrm Q}}=1/r 1/ J Q = 1/ r r = 0.8 r=0.8 r = 0.8 θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4 2準位系 H ^ = ℏ ω 0 2 Z \hat H=\frac{\hbar\omega_0}2Z H ^ = 2 ℏ ω 0 Z ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 (| 0 \rangle +| 1 \rangle )/\sqrt2 ( ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 2 (3.8.26) を ω 0 \omega_0 ω 0
解答 (1) ⟨ X ⟩ = r cos θ \langle X \rangle =r\cos\theta ⟨ X ⟩ = r cos θ ⟨ X 2 ⟩ = 1 \langle X^2 \rangle =1 ⟨ X 2 ⟩ = 1 ( Δ X ) 2 = 1 − r 2 cos 2 θ (\Delta X)^2=1-r^2\cos^2\theta ( Δ X ) 2 = 1 − r 2 cos 2 θ ∣ ∂ θ ⟨ X ⟩ ∣ = r ∣ sin θ ∣ \lvert \partial_\theta\langle X \rangle \rvert =r\lvert \sin\theta\rvert ∣ ∂ θ ⟨ X ⟩∣ = r ∣ sin θ ∣
Δ θ e p ( θ ) = 1 − r 2 cos 2 θ r ∣ sin θ ∣ . \Delta\theta_{\mathrm{ep}}(\theta)=\frac{\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}}{r\lvert \sin\theta\rvert }. Δ θ ep ( θ ) = r ∣ sin θ ∣ 1 − r 2 cos 2 θ .
(2) θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 Δ θ e p = 1 / r \Delta\theta_{\mathrm{ep}}=1/r Δ θ ep = 1/ r 3.8.6 と同じく J Q = r 2 J_{\mathrm Q}=r^2 J Q = r 2 1 / J Q = 1 / r 1/\sqrt{J_{\mathrm Q}}=1/r 1/ J Q = 1/ r X X X r = 0.8 r=0.8 r = 0.8 1 / r = 1.25 1/r=1.25 1/ r = 1.25 θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4 1 − 0.64 × 0.5 / ( 0.8 × 0.7071 ) = 0.68 / 0.5657 = 1.458 \sqrt{1-0.64\times0.5}/(0.8\times0.7071)=\sqrt{0.68}/0.5657=1.458 1 − 0.64 × 0.5 / ( 0.8 × 0.7071 ) = 0.68 /0.5657 = 1.458 1.25 1.25 1.25 θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4 X X X
(3) ( Δ E ) 2 = ⟨ H ^ 2 ⟩ − ⟨ H ^ ⟩ 2 = ( ℏ ω 0 / 2 ) 2 − 0 (\Delta E)^2=\langle \hat H^2 \rangle -\langle \hat H \rangle ^2=(\hbar\omega_0/2)^2-0 ( Δ E ) 2 = ⟨ H ^ 2 ⟩ − ⟨ H ^ ⟩ 2 = ( ℏ ω 0 /2 ) 2 − 0 Δ E = ℏ ω 0 / 2 \Delta E=\hbar\omega_0/2 Δ E = ℏ ω 0 /2 (3.8.26) は Δ t ≥ 1 / ( ν ω 0 ) \Delta t\ge1/(\sqrt\nu\,\omega_0) Δ t ≥ 1/ ( ν ω 0 ) ω 0 \omega_0 ω 0 ω 0 t \omega_0t ω 0 t 1 / ν 1/\sqrt\nu 1/ ν ω 0 \omega_0 ω 0
1 L. Mandelstam and I. Tamm (1945), J. Phys. (USSR) 9 , 249。
2 C. M. Caves (1981), Phys. Rev. D 23 , 1693。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
