相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第8章 §3.8.2 ★★★ 測定はチャネルなので、結果の分布の D D D D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ )
測定した相対エントロピー
量子データ処理不等式 D ( N ( ρ ^ ) ∥ N ( σ ^ ) ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\mathcal N(\hat\rho)\,\|\,\mathcal N(\hat\sigma))\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( N ( ρ ^ ) ∥ N ( σ ^ )) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) 第3部第3章 ）を測定のチャネル (3.8.3) に当てると、次の命題が直ちに出る。
命題 3.8.2（測定した相対エントロピーの上限 ★★★）
どんな POVM { Π ^ m } \{\hat\Pi_m\} { Π ^ m } p m = Tr ( ρ ^ Π ^ m ) p_m=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\Pi_m) p m = Tr ( ρ ^ Π ^ m ) q m = Tr ( σ ^ Π ^ m ) q_m=\operatorname{Tr}(\hat\sigma\hat\Pi_m) q m = Tr ( σ ^ Π ^ m )
D ( p ∥ q ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) (3.8.5) D(p\,\|\,q)\le D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\tag{3.8.5} D ( p ∥ q ) ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ( 3.8.5 )
を満たす。測定の上で上限をとったもの D M ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≔ sup { Π ^ m } D ( p ∥ q ) D_{\mathrm M}(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\coloneqq\sup_{\{\hat\Pi_m\}}D(p\,\|\,q) D M ( ρ ^ ∥ σ ^ ) : = sup { Π ^ m } D ( p ∥ q ) 測定した相対エントロピー と呼ぶ。D M ≤ D D_{\mathrm M}\le D D M ≤ D ρ ^ \hat\rho ρ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^
等号の条件の後半は、交換する2状態の D D D D D D 第3部第2章 ）から従う。交換しない2状態では、一般に D M < D D_{\mathrm M}<D D M < D 3.8.4 節で、同じ状態を n n n n n n D M D_{\mathrm M} D M n → ∞ n\to\infty n → ∞ D D D
トレース距離と忠実度
D D D
定義 3.8.3（トレース距離・忠実度）
2つの密度行列の差のトレースノルムの半分 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 = 1 2 Tr ∣ ρ ^ − σ ^ ∣ \frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1=\frac12\operatorname{Tr}\lvert \hat\rho-\hat\sigma\rvert 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 = 2 1 Tr ∣ ρ ^ − σ ^ ∣ ∣ A ^ ∣ = A ^ † A ^ \lvert \hat A\rvert =\sqrt{\hat A^\dagger\hat A} ∣ A ^ ∣ = A ^ † A ^ トレース距離 と呼ぶ。ρ ^ − σ ^ \hat\rho-\hat\sigma ρ ^ − σ ^ λ k \lambda_k λ k 1 2 ∑ k ∣ λ k ∣ \frac12\sum_k\lvert \lambda_k\rvert 2 1 ∑ k ∣ λ k ∣
F ( ρ ^ , σ ^ ) ≔ Tr ρ ^ σ ^ ρ ^ = ∥ ρ ^ 1 / 2 σ ^ 1 / 2 ∥ 1 (3.8.6) F(\hat\rho,\hat\sigma)\coloneqq\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\hat\rho}\,\hat\sigma\sqrt{\hat\rho}}=\lVert \hat\rho^{1/2}\hat\sigma^{1/2}\rVert _1\tag{3.8.6} F ( ρ ^ , σ ^ ) : = Tr ρ ^ σ ^ ρ ^ = ∥ ρ ^ 1/2 σ ^ 1/2 ∥ 1 ( 3.8.6 )
を忠実度 と呼ぶ1 1 A. Uhlmann (1976), Rep. Math. Phys. 9 , 273；R. Jozsa (1994), J. Mod. Opt. 41 , 2315。これを2乗したものを忠実度と呼ぶ流儀もある。自由エネルギー F ( ρ ^ ) F(\hat\rho) F ( ρ ^ ) 第3部第3章 と同じ書き方）。F ( ρ ^ , σ ^ ) = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ F(\hat\rho,\hat\sigma)=\lvert \langle \psi | \phi \rangle \rvert F ( ρ ^ , σ ^ ) = ∣⟨ ψ ∣ ϕ ⟩∣ F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = Tr ( ρ ^ σ ^ ) + 2 det ρ ^ det σ ^ F(\hat\rho,\hat\sigma)^2=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\sigma)+2\sqrt{\det\hat\rho\,\det\hat\sigma} F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = Tr ( ρ ^ σ ^ ) + 2 det ρ ^ det σ ^
トレース距離は古典の全変動距離 1 2 ∑ m ∣ p m − q m ∣ \frac12\sum_m\lvert p_m-q_m\rvert 2 1 ∑ m ∣ p m − q m ∣ ∑ m p m q m \sum_m\sqrt{p_mq_m} ∑ m p m q m N \mathcal N N ∥ N ( ρ ^ ) − N ( σ ^ ) ∥ 1 ≤ ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 \lVert \mathcal N(\hat\rho)-\mathcal N(\hat\sigma)\rVert _1\le\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1 ∥ N ( ρ ^ ) − N ( σ ^ ) ∥ 1 ≤ ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 F ( N ( ρ ^ ) , N ( σ ^ ) ) ≥ F ( ρ ^ , σ ^ ) F(\mathcal N(\hat\rho),\mathcal N(\hat\sigma))\ge F(\hat\rho,\hat\sigma) F ( N ( ρ ^ ) , N ( σ ^ )) ≥ F ( ρ ^ , σ ^ ) 3.8.3 節で作る。忠実度に達する測定の存在は Fuchs と Caves が示した。
3つの量の間の不等式
証明はここでは書かないが、次の不等式が成り立つ2 2 C. A. Fuchs and J. van de Graaf (1999), IEEE Trans. Inf. Theory 45 , 1216。
1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) ≤ 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 ≤ 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 , D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 , D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ − 2 ln F ( ρ ^ , σ ^ ) . (3.8.7) 1-F(\hat\rho,\hat\sigma)\le\tfrac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1\le\sqrt{1-F(\hat\rho,\hat\sigma)^2},\qquad
D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge\tfrac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2,\qquad D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge-2\ln F(\hat\rho,\hat\sigma).\tag{3.8.7} 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) ≤ 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 ≤ 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 , D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 , D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ − 2 ln F ( ρ ^ , σ ^ ) . ( 3.8.7 )
2番目は量子 Pinsker の不等式（第3部第2章 ）である。3番目は、D D D 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 ≤ 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 \frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1\le\sqrt{1-F(\hat\rho,\hat\sigma)^2} 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 ≤ 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2
図 3.8.1 ρ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 Z ) \hat\rho=\frac12(\mathbf 1+0.6Z) ρ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 Z ) σ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 X ) \hat\sigma=\frac12(\mathbf 1+0.6X) σ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 X ) x z xz x z n = ( sin φ , 0 , cos φ ) \bm{n}=(\sin\varphi,0,\cos\varphi) n = ( sin φ , 0 , cos φ ) 3.8.2 ）。φ = 45 ∘ \varphi=45^\circ φ = 4 5 ∘ D = 0 D=0 D = 0
例題 3.8.2 同じ純度の2つの量子ビット ★★
オリジナル ρ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 Z ) \hat\rho=\frac12(\mathbf 1+0.6Z) ρ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 Z ) σ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 X ) \hat\sigma=\frac12(\mathbf 1+0.6X) σ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 X ) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = 0.6 ln 2 = 0.4159 D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=0.6\ln2=0.4159 D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = 0.6 ln 2 = 0.4159 第3部第2章 の例題）。
向き n = ( − 1 / 2 , 0 , 1 / 2 ) \bm{n}=(-1/\sqrt2,0,1/\sqrt2) n = ( − 1/ 2 , 0 , 1/ 2 ) 3.8.1 の φ = − 45 ∘ \varphi=-45^\circ φ = − 4 5 ∘
トレース距離 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 \frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 F ( ρ ^ , σ ^ ) F(\hat\rho,\hat\sigma) F ( ρ ^ , σ ^ )
式 (3.8.7) の不等式をすべて確かめよ。右の Fuchs–van de Graaf の不等式が等号になる理由を述べよ。
解答 (1) n ⋅ σ \bm{n}\cdot\bm{\sigma} n ⋅ σ ± 1 \pm1 ± 1 1 2 ( 1 ± n ⋅ σ ) \frac12(\mathbf 1\pm\bm{n}\cdot\bm{\sigma}) 2 1 ( 1 ± n ⋅ σ ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ + + + 1 2 ( 1 + 0.6 n z ) = 1 2 ( 1 + 0.6 / 2 ) = 0.7121 \frac12(1+0.6\,n_z)=\frac12(1+0.6/\sqrt2)=0.7121 2 1 ( 1 + 0.6 n z ) = 2 1 ( 1 + 0.6/ 2 ) = 0.7121 σ ^ \hat\sigma σ ^ 1 2 ( 1 + 0.6 n x ) = 1 2 ( 1 − 0.6 / 2 ) = 0.2879 \frac12(1+0.6\,n_x)=\frac12(1-0.6/\sqrt2)=0.2879 2 1 ( 1 + 0.6 n x ) = 2 1 ( 1 − 0.6/ 2 ) = 0.2879 a = 0.7121 a=0.7121 a = 0.7121 p = ( a , 1 − a ) p=(a,1-a) p = ( a , 1 − a ) q = ( 1 − a , a ) q=(1-a,a) q = ( 1 − a , a )
D ( p ∥ q ) = a ln a 1 − a + ( 1 − a ) ln 1 − a a = ( 2 a − 1 ) ln a 1 − a = 0.4243 × 0.9050 = 0.3843 nat . D(p\,\|\,q)=a\ln\frac{a}{1-a}+(1-a)\ln\frac{1-a}{a}=(2a-1)\ln\frac{a}{1-a}=0.4243\times0.9050=0.3843\ \text{nat}. D ( p ∥ q ) = a ln 1 − a a + ( 1 − a ) ln a 1 − a = ( 2 a − 1 ) ln 1 − a a = 0.4243 × 0.9050 = 0.3843 nat .
Z Z Z 0.1927 0.1927 0.1927 X X X 0.2231 0.2231 0.2231 第3部第2章 の例題）より大きいが、0.4159 0.4159 0.4159 φ \varphi φ φ ≈ − 49.8 ∘ \varphi\approx-49.8^\circ φ ≈ − 49. 8 ∘ 0.3866 0.3866 0.3866 D M D_{\mathrm M} D M
(2) ρ ^ − σ ^ = 0.3 ( Z − X ) \hat\rho-\hat\sigma=0.3(Z-X) ρ ^ − σ ^ = 0.3 ( Z − X ) ( Z − X ) / 2 (Z-X)/\sqrt2 ( Z − X ) / 2 ± 1 \pm1 ± 1 ρ ^ − σ ^ \hat\rho-\hat\sigma ρ ^ − σ ^ ± 0.3 2 \pm0.3\sqrt2 ± 0.3 2 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 = 0.3 2 = 0.4243 \frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1=0.3\sqrt2=0.4243 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 = 0.3 2 = 0.4243 Tr ( ρ ^ σ ^ ) = 1 2 ( 1 + r ⋅ s ) = 1 2 \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\sigma)=\frac12(1+\bm{r}\cdot\bm{s})=\frac12 Tr ( ρ ^ σ ^ ) = 2 1 ( 1 + r ⋅ s ) = 2 1 r ⋅ s = 0 \bm{r}\cdot\bm{s}=0 r ⋅ s = 0 det ρ ^ = det σ ^ = 1 4 ( 1 − 0.36 ) = 0.16 \det\hat\rho=\det\hat\sigma=\frac14(1-0.36)=0.16 det ρ ^ = det σ ^ = 4 1 ( 1 − 0.36 ) = 0.16 F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = 0.5 + 2 × 0.16 = 0.82 F(\hat\rho,\hat\sigma)^2=0.5+2\times0.16=0.82 F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = 0.5 + 2 × 0.16 = 0.82 F ( ρ ^ , σ ^ ) = 0.9055 F(\hat\rho,\hat\sigma)=0.9055 F ( ρ ^ , σ ^ ) = 0.9055
(3) 1 − 0.9055 = 0.0945 ≤ 0.4243 ≤ 1 − 0.82 = 0.4243 1-0.9055=0.0945\le0.4243\le\sqrt{1-0.82}=0.4243 1 − 0.9055 = 0.0945 ≤ 0.4243 ≤ 1 − 0.82 = 0.4243 0.4159 ≥ 1 2 ( 0.8485 ) 2 = 0.36 0.4159\ge\frac12(0.8485)^2=0.36 0.4159 ≥ 2 1 ( 0.8485 ) 2 = 0.36 0.4159 ≥ − 2 ln 0.9055 = 0.1985 0.4159\ge-2\ln0.9055=0.1985 0.4159 ≥ − 2 ln 0.9055 = 0.1985 r \bm{r} r s \bm{s} s ∣ r ∣ = ∣ s ∣ = r \lvert \bm{r}\rvert =\lvert \bm{s}\rvert =r ∣ r ∣ = ∣ s ∣ = r θ \theta θ 1 4 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 = 1 4 ∣ r − s ∣ 2 = 1 2 r 2 ( 1 − cos θ ) \frac14\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2=\frac14\lvert \bm{r}-\bm{s}\rvert ^2=\frac12r^2(1-\cos\theta) 4 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 = 4 1 ∣ r − s ∣ 2 = 2 1 r 2 ( 1 − cos θ ) 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = 1 − 1 2 ( 1 + r 2 cos θ ) − 1 2 ( 1 − r 2 ) = 1 2 r 2 ( 1 − cos θ ) 1-F(\hat\rho,\hat\sigma)^2=1-\frac12(1+r^2\cos\theta)-\frac12(1-r^2)=\frac12r^2(1-\cos\theta) 1 − F ( ρ ^ , σ ^ ) 2 = 1 − 2 1 ( 1 + r 2 cos θ ) − 2 1 ( 1 − r 2 ) = 2 1 r 2 ( 1 − cos θ )
1 A. Uhlmann (1976), Rep. Math. Phys. 9 , 273；R. Jozsa (1994), J. Mod. Opt. 41 , 2315。これを2乗したものを忠実度と呼ぶ流儀もある。自由エネルギー F ( ρ ^ ) F(\hat\rho) F ( ρ ^ ) 第3部第3章 と同じ書き方）。
2 C. A. Fuchs and J. van de Graaf (1999), IEEE Trans. Inf. Theory 45 , 1216。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
