相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第8章 §3.8.4 ★★★ 同じ状態を n n n e − n D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) \mathrm{e}^{-nD(\hat\rho\|\hat\sigma)} e − n D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) n n n
仮説検定
仮説 H 0 \mathrm H_0 H 0 ρ ^ ⊗ n \hat\rho^{\otimes n} ρ ^ ⊗ n H 1 \mathrm H_1 H 1 σ ^ ⊗ n \hat\sigma^{\otimes n} σ ^ ⊗ n 第1部第8章 と同じく立体）。n n n { T ^ n , 1 − T ^ n } \{\hat T_n,\mathbf 1-\hat T_n\} { T ^ n , 1 − T ^ n } T ^ n \hat T_n T ^ n H 0 \mathrm H_0 H 0
α n = Tr ( ρ ^ ⊗ n ( 1 − T ^ n ) ) , β n = Tr ( σ ^ ⊗ n T ^ n ) (3.8.11) \alpha_n=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho^{\otimes n}(\mathbf 1-\hat T_n)\bigr),\qquad\beta_n=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\sigma^{\otimes n}\hat T_n\bigr)\tag{3.8.11} α n = Tr ( ρ ^ ⊗ n ( 1 − T ^ n ) ) , β n = Tr ( σ ^ ⊗ n T ^ n ) ( 3.8.11 )
である。0 < ϵ < 1 0<\epsilon<1 0 < ϵ < 1 α n ≤ ϵ \alpha_n\le\epsilon α n ≤ ϵ β n \beta_n β n β n ϵ \beta_n^\epsilon β n ϵ
定理 3.8.5（量子 Stein の補題 ★★★）
supp ρ ^ ⊆ supp σ ^ \operatorname{supp}\hat\rho\subseteq\operatorname{supp}\hat\sigma supp ρ ^ ⊆ supp σ ^ 0 < ϵ < 1 0<\epsilon<1 0 < ϵ < 1
lim n → ∞ − 1 n ln β n ϵ = D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) . (3.8.12) \lim_{n\to\infty}-\frac1n\ln\beta_n^\epsilon=D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma).\tag{3.8.12} n → ∞ lim − n 1 ln β n ϵ = D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) . ( 3.8.12 )
極限が D D D D D D ϵ \epsilon ϵ 1 1 F. Hiai and D. Petz (1991), Commun. Math. Phys. 143 , 99；T. Ogawa and H. Nagaoka (2000), IEEE Trans. Inf. Theory 46 , 2428。第1部第8章 ）の D ( p 0 ∥ p 1 ) D(p_0\,\|\,p_1) D ( p 0 ∥ p 1 ) Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ ) \operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma) Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ )
上限はデータ処理不等式から
弱い形の逆（ϵ \epsilon ϵ 0 0 0 3.8.2 だけから出る。検定 { T ^ n , 1 − T ^ n } \{\hat T_n,\mathbf 1-\hat T_n\} { T ^ n , 1 − T ^ n } n n n ρ ^ ⊗ n \hat\rho^{\otimes n} ρ ^ ⊗ n σ ^ ⊗ n \hat\sigma^{\otimes n} σ ^ ⊗ n ( 1 − α n , α n ) (1-\alpha_n,\alpha_n) ( 1 − α n , α n ) ( β n , 1 − β n ) (\beta_n,1-\beta_n) ( β n , 1 − β n )
n D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = D ( ρ ^ ⊗ n ∥ σ ^ ⊗ n ) ≥ ( 1 − α n ) ln 1 − α n β n + α n ln α n 1 − β n ≥ ( 1 − α n ) ln 1 β n − ln 2 nD(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=D(\hat\rho^{\otimes n}\,\|\,\hat\sigma^{\otimes n})\ge(1-\alpha_n)\ln\frac{1-\alpha_n}{\beta_n}+\alpha_n\ln\frac{\alpha_n}{1-\beta_n}
\ge(1-\alpha_n)\ln\frac{1}{\beta_n}-\ln2 n D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = D ( ρ ^ ⊗ n ∥ σ ^ ⊗ n ) ≥ ( 1 − α n ) ln β n 1 − α n + α n ln 1 − β n α n ≥ ( 1 − α n ) ln β n 1 − ln 2
となる。最初の等号は D D D − ( 1 − α n ) ln 1 1 − α n − α n ln 1 α n = − h b ( α n ) ≥ − ln 2 -(1-\alpha_n)\ln\frac{1}{1-\alpha_n}-\alpha_n\ln\frac1{\alpha_n}=-h_{\mathrm b}(\alpha_n)\ge-\ln2 − ( 1 − α n ) ln 1 − α n 1 − α n ln α n 1 = − h b ( α n ) ≥ − ln 2 α n ln 1 1 − β n ≥ 0 \alpha_n\ln\frac{1}{1-\beta_n}\ge0 α n ln 1 − β n 1 ≥ 0
− 1 n ln β n ≤ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) + ( ln 2 ) / n 1 − α n (3.8.13) -\frac1n\ln\beta_n\le\frac{D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)+(\ln2)/n}{1-\alpha_n}\tag{3.8.13} − n 1 ln β n ≤ 1 − α n D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) + ( ln 2 ) / n ( 3.8.13 )
で、α n ≤ ϵ → 0 \alpha_n\le\epsilon\to0 α n ≤ ϵ → 0 D D D
達成：ピンチングで古典に戻す
達成の側の考え方を述べる。σ ^ \hat\sigma σ ^ Q ^ j \hat Q_j Q ^ j j = 1 , … , v j=1,\dots,v j = 1 , … , v P ( ρ ^ ) ≔ ∑ j Q ^ j ρ ^ Q ^ j \mathcal P(\hat\rho)\coloneqq\sum_j\hat Q_j\hat\rho\hat Q_j P ( ρ ^ ) : = ∑ j Q ^ j ρ ^ Q ^ j P ( ρ ^ ) \mathcal P(\hat\rho) P ( ρ ^ ) σ ^ \hat\sigma σ ^
D ( P ( ρ ^ ) ∥ σ ^ ) ≥ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) − ln v . (3.8.14) D(\mathcal P(\hat\rho)\,\|\,\hat\sigma)\ge D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)-\ln v.\tag{3.8.14} D ( P ( ρ ^ ) ∥ σ ^ ) ≥ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) − ln v . ( 3.8.14 )
証明には2つの事実を使う。第一に、作用素の不等式 ρ ^ ≤ v P ( ρ ^ ) \hat\rho\le v\,\mathcal P(\hat\rho) ρ ^ ≤ v P ( ρ ^ ) ln \ln ln ln ρ ^ ≤ ln v + ln P ( ρ ^ ) \ln\hat\rho\le\ln v+\ln\mathcal P(\hat\rho) ln ρ ^ ≤ ln v + ln P ( ρ ^ ) ln σ ^ \ln\hat\sigma ln σ ^ ln P ( ρ ^ ) \ln\mathcal P(\hat\rho) ln P ( ρ ^ ) Q ^ j \hat Q_j Q ^ j Tr ρ ^ ln σ ^ = Tr P ( ρ ^ ) ln σ ^ \operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=\operatorname{Tr}\mathcal P(\hat\rho)\ln\hat\sigma Tr ρ ^ ln σ ^ = Tr P ( ρ ^ ) ln σ ^ Tr ρ ^ ln P ( ρ ^ ) = Tr P ( ρ ^ ) ln P ( ρ ^ ) \operatorname{Tr}\hat\rho\ln\mathcal P(\hat\rho)=\operatorname{Tr}\mathcal P(\hat\rho)\ln\mathcal P(\hat\rho) Tr ρ ^ ln P ( ρ ^ ) = Tr P ( ρ ^ ) ln P ( ρ ^ ) (3.8.14) が出る。
これを m m m ρ ^ ⊗ m \hat\rho^{\otimes m} ρ ^ ⊗ m σ ^ ⊗ m \hat\sigma^{\otimes m} σ ^ ⊗ m σ ^ ⊗ m \hat\sigma^{\otimes m} σ ^ ⊗ m σ ^ \hat\sigma σ ^ d d d v m ≤ ( m + 1 ) d v_m\le(m+1)^d v m ≤ ( m + 1 ) d
1 m D ( P m ( ρ ^ ⊗ m ) ∥ σ ^ ⊗ m ) ≥ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) − d ln ( m + 1 ) m . \frac1mD\bigl(\mathcal P_m(\hat\rho^{\otimes m})\,\big\|\,\hat\sigma^{\otimes m}\bigr)\ge D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)-\frac{d\ln(m+1)}{m}. m 1 D ( P m ( ρ ^ ⊗ m ) σ ^ ⊗ m ) ≥ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) − m d ln ( m + 1 ) .
左辺の2つの状態は交換するので、共通の固有基底で m m m k k k n = k m n=km n = k m m → ∞ m\to\infty m → ∞ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) σ ^ ⊗ m \hat\sigma^{\otimes m} σ ^ ⊗ m m m m D M ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D_{\mathrm M}(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D M ( ρ ^ ∥ σ ^ )
等しい事前確率の誤り：量子 Chernoff 限界
2種類の誤りを等しく重んじ、等しい事前確率で n n n (3.8.9) を ρ ^ ⊗ n \hat\rho^{\otimes n} ρ ^ ⊗ n σ ^ ⊗ n \hat\sigma^{\otimes n} σ ^ ⊗ n
lim n → ∞ − 1 n ln P e r r , n min = C ( ρ ^ , σ ^ ) ≔ − ln min 0 ≤ s ≤ 1 Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) (3.8.15) \lim_{n\to\infty}-\frac1n\ln P_{\mathrm{err},n}^{\min}=\mathcal C(\hat\rho,\hat\sigma)\coloneqq-\ln\min_{0\le s\le1}\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho^s\hat\sigma^{1-s}\bigr)\tag{3.8.15} n → ∞ lim − n 1 ln P err , n m i n = C ( ρ ^ , σ ^ ) : = − ln 0 ≤ s ≤ 1 min Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) ( 3.8.15 )
で与えられる（量子 Chernoff 限界 ）2 2 K. M. R. Audenaert et al. (2007), Phys. Rev. Lett. 98 , 160501；M. Nussbaum and A. Szkoła (2009), Ann. Statist. 37 , 1040。C ( p , q ) = − ln min s ∑ x p ( x ) s q ( x ) 1 − s \mathcal C(p,q)=-\ln\min_s\sum_xp(x)^sq(x)^{1-s} C ( p , q ) = − ln min s ∑ x p ( x ) s q ( x ) 1 − s 第1部第8章 ）に一致する。純粋状態どうしでは 0 < s < 1 0<s<1 0 < s < 1 ρ ^ s = ρ ^ \hat\rho^s=\hat\rho ρ ^ s = ρ ^ Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2 \operatorname{Tr}(\hat\rho^s\hat\sigma^{1-s})=\lvert \langle \psi | \phi \rangle \rvert ^2 Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) = ∣⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2 C = − ln ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2 \mathcal C=-\ln\lvert \langle \psi | \phi \rangle \rvert ^2 C = − ln ∣⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 2
例題 3.8.4 純粋状態を n n n
オリジナル 例題 3.8.3 の2状態（c = cos ( π / 6 ) c=\cos(\pi/6) c = cos ( π /6 ) n n n
n n n ⟨ ψ 0 ⊗ n ∣ ψ 1 ⊗ n ⟩ \langle \psi_0^{\otimes n} | \psi_1^{\otimes n} \rangle ⟨ ψ 0 ⊗ n ∣ ψ 1 ⊗ n ⟩ n n n n = 10 n=10 n = 10 n n n 1 4 c 2 n \frac14c^{2n} 4 1 c 2 n 誤りの減る速さが量子 Chernoff 限界 − ln c 2 -\ln c^2 − ln c 2
解答 (1) 積の状態の内積は各成分の内積の積なので c n c^n c n (3.8.10) に w 0 = w 1 = 1 2 w_0=w_1=\frac12 w 0 = w 1 = 2 1 c → c n c\to c^n c → c n P e r r , n min = 1 2 ( 1 − 1 − c 2 n ) P_{\mathrm{err},n}^{\min}=\frac12\bigl(1-\sqrt{1-c^{2n}}\bigr) P err , n m i n = 2 1 ( 1 − 1 − c 2 n )
(2) c 2 = 0.75 c^2=0.75 c 2 = 0.75 c 20 = 0.75 10 = 0.05631 c^{20}=0.75^{10}=0.05631 c 20 = 0.7 5 10 = 0.05631 P = 1 2 ( 1 − 0.94369 ) = 1 2 ( 1 − 0.97144 ) = 0.01428 P=\frac12(1-\sqrt{0.94369})=\frac12(1-0.97144)=0.01428 P = 2 1 ( 1 − 0.94369 ) = 2 1 ( 1 − 0.97144 ) = 0.01428 1 − x ≈ 1 − x / 2 \sqrt{1-x}\approx1-x/2 1 − x ≈ 1 − x /2 1 4 × 0.05631 = 0.01408 \frac14\times0.05631=0.01408 4 1 × 0.05631 = 0.01408 1.4 % 1.4\% 1.4%
(3) ln P e r r , n min = ln 1 4 + 2 n ln c + O ( c 2 n ) \ln P_{\mathrm{err},n}^{\min}=\ln\frac14+2n\ln c+\mathcal{O}(c^{2n}) ln P err , n m i n = ln 4 1 + 2 n ln c + O ( c 2 n ) − 1 n ln P → − ln c 2 = 0.2877 -\frac1n\ln P\to-\ln c^2=0.2877 − n 1 ln P → − ln c 2 = 0.2877 C = − ln ∣ ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ ∣ 2 \mathcal C=-\ln\lvert \langle \psi_0 | \psi_1 \rangle \rvert ^2 C = − ln ∣⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ ∣ 2
例題 3.8.5 まとめて測る得 ★★
オリジナル 例題 3.8.2 の ρ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 Z ) \hat\rho=\frac12(\mathbf 1+0.6Z) ρ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 Z ) σ ^ = 1 2 ( 1 + 0.6 X ) \hat\sigma=\frac12(\mathbf 1+0.6X) σ ^ = 2 1 ( 1 + 0.6 X ) n n n
量子 Stein の指数と、1個ずつ射影測定する場合の最良の指数を比べよ。
量子 Chernoff 限界 C ( ρ ^ , σ ^ ) \mathcal C(\hat\rho,\hat\sigma) C ( ρ ^ , σ ^ ) s ↦ Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) s\mapsto\operatorname{Tr}(\hat\rho^s\hat\sigma^{1-s}) s ↦ Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) s = 1 2 s=\frac12 s = 2 1
1個ずつ φ = − 45 ∘ \varphi=-45^\circ φ = − 4 5 ∘ 0.0992 0.0992 0.0992
解答 (1) 量子の指数は D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = 0.4159 D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=0.4159 D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = 0.4159 D ( p ∥ q ) D(p\,\|\,q) D ( p ∥ q ) 0.3866 0.3866 0.3866 3.8.2 ）である。β n ≈ e − n × 0.4159 \beta_n\approx\mathrm{e}^{-n\times0.4159} β n ≈ e − n × 0.4159 e − n × 0.3866 \mathrm{e}^{-n\times0.3866} e − n × 0.3866 n = 100 n=100 n = 100 e − 2.93 ≈ 0.053 \mathrm{e}^{-2.93}\approx0.053 e − 2.93 ≈ 0.053 1 / 19 1/19 1/19
(2) Hadamard ゲート U ^ = ( X + Z ) / 2 \hat U=(X+Z)/\sqrt2 U ^ = ( X + Z ) / 2 X X X Z Z Z U ^ ρ ^ U ^ † = σ ^ \hat U\hat\rho\hat U^\dagger=\hat\sigma U ^ ρ ^ U ^ † = σ ^ U ^ σ ^ U ^ † = ρ ^ \hat U\hat\sigma\hat U^\dagger=\hat\rho U ^ σ ^ U ^ † = ρ ^ Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) = Tr ( σ ^ s ρ ^ 1 − s ) \operatorname{Tr}(\hat\rho^s\hat\sigma^{1-s})=\operatorname{Tr}(\hat\sigma^s\hat\rho^{1-s}) Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) = Tr ( σ ^ s ρ ^ 1 − s ) s ↔ 1 − s s\leftrightarrow1-s s ↔ 1 − s s ↦ ln Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) s\mapsto\ln\operatorname{Tr}(\hat\rho^s\hat\sigma^{1-s}) s ↦ ln Tr ( ρ ^ s σ ^ 1 − s ) s = 1 2 s=\frac12 s = 2 1 ρ ^ = a 1 + b Z \sqrt{\hat\rho}=a\mathbf 1+bZ ρ ^ = a 1 + b Z a = 1 2 ( 0.8 + 0.2 ) a=\frac12(\sqrt{0.8}+\sqrt{0.2}) a = 2 1 ( 0.8 + 0.2 ) σ ^ = a 1 + b X \sqrt{\hat\sigma}=a\mathbf 1+bX σ ^ = a 1 + b X Tr ( ρ ^ σ ^ ) = Tr ( a 2 1 + ⋯ ) = 2 a 2 = 1 2 ( 0.8 + 0.2 + 2 0.16 ) = 0.9 \operatorname{Tr}(\sqrt{\hat\rho}\sqrt{\hat\sigma})=\operatorname{Tr}(a^2\mathbf 1+\cdots)=2a^2=\frac12(0.8+0.2+2\sqrt{0.16})=0.9 Tr ( ρ ^ σ ^ ) = Tr ( a 2 1 + ⋯ ) = 2 a 2 = 2 1 ( 0.8 + 0.2 + 2 0.16 ) = 0.9 C = − ln 0.9 = 0.1054 \mathcal C=-\ln0.9=0.1054 C = − ln 0.9 = 0.1054
(3) 1個ずつ測ると 0.0992 < 0.1054 0.0992<0.1054 0.0992 < 0.1054 0.0293 0.0293 0.0293 0.0062 0.0062 0.0062
1 F. Hiai and D. Petz (1991), Commun. Math. Phys. 143 , 99；T. Ogawa and H. Nagaoka (2000), IEEE Trans. Inf. Theory 46 , 2428。
2 K. M. R. Audenaert et al. (2007), Phys. Rev. Lett. 98 , 160501；M. Nussbaum and A. Szkoła (2009), Ann. Statist. 37 , 1040。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
