相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第8章 §3.8.3 ★★★ 1回の測定で2つの状態を見分ける最小の誤り確率は 1 2 ( 1 − ∥ w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 ∥ 1 ) \frac12(1-\lVert w_0\hat\rho_0-w_1\hat\rho_1\rVert _1) 2 1 ( 1 − ∥ w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 ∥ 1 )
最小の誤り確率
状態は確率 w 0 w_0 w 0 ρ ^ 0 \hat\rho_0 ρ ^ 0 w 1 = 1 − w 0 w_1=1-w_0 w 1 = 1 − w 0 ρ ^ 1 \hat\rho_1 ρ ^ 1 { Π ^ 0 , Π ^ 1 } \{\hat\Pi_0,\hat\Pi_1\} { Π ^ 0 , Π ^ 1 } k k k ρ ^ k \hat\rho_k ρ ^ k
P e r r = w 0 Tr ( ρ ^ 0 Π ^ 1 ) + w 1 Tr ( ρ ^ 1 Π ^ 0 ) (3.8.8) P_{\mathrm{err}}=w_0\operatorname{Tr}(\hat\rho_0\hat\Pi_1)+w_1\operatorname{Tr}(\hat\rho_1\hat\Pi_0)\tag{3.8.8} P err = w 0 Tr ( ρ ^ 0 Π ^ 1 ) + w 1 Tr ( ρ ^ 1 Π ^ 0 ) ( 3.8.8 )
である。結果が3つ以上ある測定でも、判定は2通りなので、同じ判定になる結果の Π ^ m \hat\Pi_m Π ^ m
定理 3.8.4（Helstrom の限界 ★★★）
誤り確率 (3.8.8) の POVM についての最小値は
P e r r min = 1 2 ( 1 − ∥ w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 ∥ 1 ) (3.8.9) P_{\mathrm{err}}^{\min}=\frac12\bigl(1-\lVert w_0\hat\rho_0-w_1\hat\rho_1\rVert _1\bigr)\tag{3.8.9} P err m i n = 2 1 ( 1 − ∥ w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 ∥ 1 ) ( 3.8.9 )
で、Γ ^ ≔ w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 \hat\Gamma\coloneqq w_0\hat\rho_0-w_1\hat\rho_1 Γ ^ : = w 0 ρ ^ 0 − w 1 ρ ^ 1 Π ^ 0 \hat\Pi_0 Π ^ 0 1 1 C. W. Helstrom (1976), Quantum Detection and Estimation Theory (Academic Press)。
証明 Π ^ 1 = 1 − Π ^ 0 \hat\Pi_1=\mathbf 1-\hat\Pi_0 Π ^ 1 = 1 − Π ^ 0 (3.8.8) に入れるとP e r r = w 0 − w 0 Tr ( ρ ^ 0 Π ^ 0 ) + w 1 Tr ( ρ ^ 1 Π ^ 0 ) = w 0 − Tr ( Γ ^ Π ^ 0 ) P_{\mathrm{err}}=w_0-w_0\operatorname{Tr}(\hat\rho_0\hat\Pi_0)+w_1\operatorname{Tr}(\hat\rho_1\hat\Pi_0)=w_0-\operatorname{Tr}(\hat\Gamma\hat\Pi_0) P err = w 0 − w 0 Tr ( ρ ^ 0 Π ^ 0 ) + w 1 Tr ( ρ ^ 1 Π ^ 0 ) = w 0 − Tr ( Γ ^ Π ^ 0 ) Γ ^ \hat\Gamma Γ ^ Γ ^ = ∑ k γ k ∣ g k ⟩ ⟨ g k ∣ \hat\Gamma=\sum_k\gamma_k| g_k \rangle \langle g_k | Γ ^ = ∑ k γ k ∣ g k ⟩ ⟨ g k ∣ 0 ≤ Π ^ 0 ≤ 1 0\le\hat\Pi_0\le\mathbf 1 0 ≤ Π ^ 0 ≤ 1 0 ≤ ⟨ g k ∣ Π ^ 0 ∣ g k ⟩ ≤ 1 0\le\langle g_k | \hat\Pi_0 | g_k \rangle \le1 0 ≤ ⟨ g k ∣ Π ^ 0 ∣ g k ⟩ ≤ 1
Tr ( Γ ^ Π ^ 0 ) = ∑ k γ k ⟨ g k ∣ Π ^ 0 ∣ g k ⟩ ≤ ∑ γ k > 0 γ k . \operatorname{Tr}(\hat\Gamma\hat\Pi_0)=\sum_k\gamma_k\langle g_k | \hat\Pi_0 | g_k \rangle \le\sum_{\gamma_k>0}\gamma_k. Tr ( Γ ^ Π ^ 0 ) = k ∑ γ k ⟨ g k ∣ Π ^ 0 ∣ g k ⟩ ≤ γ k > 0 ∑ γ k .
等号は Π ^ 0 \hat\Pi_0 Π ^ 0 ∑ k γ k = Tr Γ ^ = w 0 − w 1 \sum_k\gamma_k=\operatorname{Tr}\hat\Gamma=w_0-w_1 ∑ k γ k = Tr Γ ^ = w 0 − w 1 ∑ k ∣ γ k ∣ = ∥ Γ ^ ∥ 1 \sum_k\lvert \gamma_k\rvert =\lVert \hat\Gamma\rVert _1 ∑ k ∣ γ k ∣ = ∥ Γ ^ ∥ 1 1 2 ( w 0 − w 1 + ∥ Γ ^ ∥ 1 ) \frac12(w_0-w_1+\lVert \hat\Gamma\rVert _1) 2 1 ( w 0 − w 1 + ∥ Γ ^ ∥ 1 ) P e r r min = w 0 − 1 2 ( w 0 − w 1 + ∥ Γ ^ ∥ 1 ) = 1 2 ( 1 − ∥ Γ ^ ∥ 1 ) P_{\mathrm{err}}^{\min}=w_0-\frac12(w_0-w_1+\lVert \hat\Gamma\rVert _1)=\frac12(1-\lVert \hat\Gamma\rVert _1) P err m i n = w 0 − 2 1 ( w 0 − w 1 + ∥ Γ ^ ∥ 1 ) = 2 1 ( 1 − ∥ Γ ^ ∥ 1 )
最適な測定は、Γ ^ \hat\Gamma Γ ^ p 0 p_0 p 0 p 1 p_1 p 1 1 2 ( 1 − ∑ x ∣ w 0 p 0 ( x ) − w 1 p 1 ( x ) ∣ ) \frac12(1-\sum_x\lvert w_0p_0(x)-w_1p_1(x)\rvert ) 2 1 ( 1 − ∑ x ∣ w 0 p 0 ( x ) − w 1 p 1 ( x )∣) (3.8.9) はその量子版である。量子に固有の部分は、測定の基底を Γ ^ \hat\Gamma Γ ^ w 0 = w 1 = 1 2 w_0=w_1=\frac12 w 0 = w 1 = 2 1 P e r r min = 1 2 ( 1 − 1 2 ∥ ρ ^ 0 − ρ ^ 1 ∥ 1 ) P_{\mathrm{err}}^{\min}=\frac12(1-\frac12\lVert \hat\rho_0-\hat\rho_1\rVert _1) P err m i n = 2 1 ( 1 − 2 1 ∥ ρ ^ 0 − ρ ^ 1 ∥ 1 )
純粋状態
ρ ^ k = ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ \hat\rho_k=| \psi_k \rangle \langle \psi_k | ρ ^ k = ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ ∣ ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ ∣ = c \lvert \langle \psi_0 | \psi_1 \rangle \rvert =c ∣⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩∣ = c Γ ^ \hat\Gamma Γ ^ Tr Γ ^ = w 0 − w 1 \operatorname{Tr}\hat\Gamma=w_0-w_1 Tr Γ ^ = w 0 − w 1 det Γ ^ = − w 0 w 1 ( 1 − c 2 ) \det\hat\Gamma=-w_0w_1(1-c^2) det Γ ^ = − w 0 w 1 ( 1 − c 2 ) γ ± \gamma_\pm γ ± γ + γ − < 0 \gamma_+\gamma_-<0 γ + γ − < 0 ∥ Γ ^ ∥ 1 = γ + − γ − = ( γ + + γ − ) 2 − 4 γ + γ − \lVert \hat\Gamma\rVert _1=\gamma_+-\gamma_-=\sqrt{(\gamma_++\gamma_-)^2-4\gamma_+\gamma_-} ∥ Γ ^ ∥ 1 = γ + − γ − = ( γ + + γ − ) 2 − 4 γ + γ −
P e r r min = 1 2 ( 1 − 1 − 4 w 0 w 1 c 2 ) (3.8.10) P_{\mathrm{err}}^{\min}=\frac12\Bigl(1-\sqrt{1-4w_0w_1c^2}\Bigr)\tag{3.8.10} P err m i n = 2 1 ( 1 − 1 − 4 w 0 w 1 c 2 ) ( 3.8.10 )
となる。c = 0 c=0 c = 0 0 0 0 c = 1 c=1 c = 1 min ( w 0 , w 1 ) \min(w_0,w_1) min ( w 0 , w 1 ) (3.8.10) の両端を言い換えたものである。
図 3.8.2 ∣ ψ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ | \psi_0 \rangle =| 0 \rangle ∣ ψ 0 ⟩ = ∣0 ⟩ ∣ ψ 1 ⟩ = cos α ∣ 0 ⟩ + sin α ∣ 1 ⟩ | \psi_1 \rangle =\cos\alpha| 0 \rangle +\sin\alpha| 1 \rangle ∣ ψ 1 ⟩ = cos α ∣0 ⟩ + sin α ∣1 ⟩ 1 2 ( 1 − sin α ) \frac12(1-\sin\alpha) 2 1 ( 1 − sin α ) Z Z Z 1 1 1 ∣ ψ 1 ⟩ | \psi_1 \rangle ∣ ψ 1 ⟩ 0 0 0 ∣ ψ 0 ⟩ | \psi_0 \rangle ∣ ψ 0 ⟩ 1 2 cos 2 α \frac12\cos^2\alpha 2 1 cos 2 α
例題 3.8.3 2つの純粋状態の最適な識別 ★★
オリジナル 例題 3.8.1 の2状態で α = π / 6 \alpha=\pi/6 α = π /6 c = cos α = 3 / 2 c=\cos\alpha=\sqrt3/2 c = cos α = 3 /2
w 0 = w 1 = 1 2 w_0=w_1=\frac12 w 0 = w 1 = 2 1 Z Z Z 3.8.2 の実線）の誤り確率と Helstrom の最小値を求めよ。最適な測定の基底を求め、Bloch 球の上でどの向きの測定かを述べよ。
w 0 = 0.8 w_0=0.8 w 0 = 0.8 ρ ^ 0 \hat\rho_0 ρ ^ 0
解答 (1) Z Z Z ∣ ψ 1 ⟩ | \psi_1 \rangle ∣ ψ 1 ⟩ 0 0 0 1 2 cos 2 α = 1 2 ⋅ 3 4 = 0.375 \frac12\cos^2\alpha=\frac12\cdot\frac34=0.375 2 1 cos 2 α = 2 1 ⋅ 4 3 = 0.375 (3.8.10) で 4 w 0 w 1 c 2 = c 2 4w_0w_1c^2=c^2 4 w 0 w 1 c 2 = c 2 1 2 ( 1 − 1 − c 2 ) = 1 2 ( 1 − sin α ) = 0.25 \frac12(1-\sqrt{1-c^2})=\frac12(1-\sin\alpha)=0.25 2 1 ( 1 − 1 − c 2 ) = 2 1 ( 1 − sin α ) = 0.25
(2) Γ ^ = 1 2 ( ∣ ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 ∣ − ∣ ψ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 ∣ ) \hat\Gamma=\frac12(| \psi_0 \rangle \langle \psi_0 |-| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 |) Γ ^ = 2 1 ( ∣ ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 ∣ − ∣ ψ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 ∣ ) e z \bm{e}_z e z ( sin 2 α , 0 , cos 2 α ) (\sin2\alpha,0,\cos2\alpha) ( sin 2 α , 0 , cos 2 α ) Γ ^ = 1 4 ( e z − ( sin 2 α , 0 , cos 2 α ) ) ⋅ σ \hat\Gamma=\frac14\bigl(\bm{e}_z-(\sin2\alpha,0,\cos2\alpha)\bigr)\cdot\bm{\sigma} Γ ^ = 4 1 ( e z − ( sin 2 α , 0 , cos 2 α ) ) ⋅ σ + 1 +1 + 1 α = π / 6 \alpha=\pi/6 α = π /6 ( − sin 60 ∘ , 0 , 1 − cos 60 ∘ ) = ( − 0.866 , 0 , 0.5 ) (-\sin60^\circ,0,1-\cos60^\circ)=(-0.866,0,0.5) ( − sin 6 0 ∘ , 0 , 1 − cos 6 0 ∘ ) = ( − 0.866 , 0 , 0.5 ) z z z − 60 ∘ -60^\circ − 6 0 ∘ x x x ∣ ψ 0 ⟩ | \psi_0 \rangle ∣ ψ 0 ⟩ ∣ ψ 1 ⟩ | \psi_1 \rangle ∣ ψ 1 ⟩ 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
(3) 4 w 0 w 1 c 2 = 4 × 0.8 × 0.2 × 0.75 = 0.48 4w_0w_1c^2=4\times0.8\times0.2\times0.75=0.48 4 w 0 w 1 c 2 = 4 × 0.8 × 0.2 × 0.75 = 0.48 P e r r min = 1 2 ( 1 − 0.52 ) = 1 2 ( 1 − 0.7211 ) = 0.1394 P_{\mathrm{err}}^{\min}=\frac12(1-\sqrt{0.52})=\frac12(1-0.7211)=0.1394 P err m i n = 2 1 ( 1 − 0.52 ) = 2 1 ( 1 − 0.7211 ) = 0.1394 ρ ^ 0 \hat\rho_0 ρ ^ 0 w 1 = 0.2 w_1=0.2 w 1 = 0.2 0.2 0.2 0.2 0.139 0.139 0.139
誤りを許さない識別
結果の1つに「分からない」を許すと、純粋状態の組を誤りなく見分けることができる。等しい事前確率では「分からない」が出る確率の最小値はc = ∣ ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ ∣ c=\lvert \langle \psi_0 | \psi_1 \rangle \rvert c = ∣⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩∣ 2 2 I. D. Ivanovic (1987), Phys. Lett. A 123 , 257；D. Dieks (1988), Phys. Lett. A 126 , 303；A. Peres (1988), Phys. Lett. A 128 , 19。3.8.1 の (2) の測定は、片方の向きの誤りだけを 0 0 0
1 C. W. Helstrom (1976), Quantum Detection and Estimation Theory (Academic Press)。
2 I. D. Ivanovic (1987), Phys. Lett. A 123 , 257；D. Dieks (1988), Phys. Lett. A 126 , 303；A. Peres (1988), Phys. Lett. A 128 , 19。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
