この章のまとめ

(1) 時刻 $t$ に輪は、$z$ 軸と、$xy$ 面内で $x$ 軸から角度 $\Omega t$ の向きとが張る鉛直面の中にある。拘束は$\Phi_1=\lvert \bm{r}\rvert ^2-R^2=0$ と $\Phi_2=-x\sin\Omega t+y\cos\Omega t=0$（その鉛直面の中にあること）の2本で、独立である。$N=1$, $k=2$ で自由度は $f=1$。$\Phi_2$ が $t$ を含むので、拘束は時間による。

(2) $\bm{r}=R\,(\sin\theta\cos\Omega t,\ \sin\theta\sin\Omega t,\ -\cos\theta)$。$\Phi_1=\Phi_2=0$ はどの $\theta$, $t$ でも成り立ち、$\partial\bm{r}/\partial\theta$ の長さは $R$ で $0$ にならない。$\partial\bm{r}/\partial\theta=R(\cos\theta\cos\Omega t,\cos\theta\sin\Omega t,\sin\theta)$、$\partial\bm{r}/\partial t=R\Omega(-\sin\theta\sin\Omega t,\sin\theta\cos\Omega t,0)$ で、$\dot{\bm{r}}=(\partial\bm{r}/\partial\theta)\dot\theta+\partial\bm{r}/\partial t$ である。$\partial\dot{\bm{r}}/\partial\dot\theta=\partial\bm{r}/\partial\theta$ は式の形から明らか。運動に沿った微分は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial\theta}=R\dot\theta(-\sin\theta\cos\Omega t,-\sin\theta\sin\Omega t,\cos\theta)+R\Omega\cos\theta(-\sin\Omega t,\cos\Omega t,0)$ で、$\dot{\bm{r}}$ を $\dot\theta$ と $t$ を止めて $\theta$ で微分したものと成分ごとに一致する。

(3) $\partial\bm{r}/\partial\theta$ と $\partial\bm{r}/\partial t$ は内積が $R^2\Omega(-\cos\theta\sin\theta\cos\Omega t\sin\Omega t+\cos\theta\sin\theta\sin\Omega t\cos\Omega t)=0$ で直交するので $T_1=0$。$\lvert \partial\bm{r}/\partial\theta\rvert ^2=R^2$, $\lvert \partial\bm{r}/\partial t\rvert ^2=R^2\Omega^2\sin^2\theta$ から

$$T=\frac{mR^2}{2}\bigl(\dot\theta^2+\Omega^2\sin^2\theta\bigr),\qquad T_2=\frac{mR^2}{2}\dot\theta^2,\quad T_1=0,\quad T_0=\frac{mR^2\Omega^2}{2}\sin^2\theta .$$

(4) $Q_\theta=(0,0,-mg)\cdot\partial\bm{r}/\partial\theta=-mgR\sin\theta$。位置エネルギー $V=mgz=-mgR\cos\theta$ から $-\partial V/\partial\theta=-mgR\sin\theta$ で一致する。

(5) 輪の力は（摩擦が無いので）輪の接線 $\partial\bm{r}/\partial\theta$ に垂直で、理想的な拘束である。式 (1.2.22) に $\partial T/\partial\dot\theta=mR^2\dot\theta$, $\partial T/\partial\theta=mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta$ を入れて

$$mR^2\ddot\theta-mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta=-mgR\sin\theta,\qquad\text{すなわち}\qquad \ddot\theta=\sin\theta\Bigl(\Omega^2\cos\theta-\frac gR\Bigr)\eqqcolon F(\theta).$$

平衡点は $F(\theta)=0$ の点で、$\theta=0$（最下点）、$\theta=\pi$（最上点）、そして $\Omega^2>g/R$ のときに限り $\cos\theta_*=g/(R\Omega^2)$ を満たす $\theta=\pm\theta_*$ である。平衡点 $\theta_{\mathrm e}$ のまわりで $\theta=\theta_{\mathrm e}+\xi$ とおき、$\xi$ の1次まで残すと $\ddot\xi=F'(\theta_{\mathrm e})\xi$ で、$F'<0$ なら角振動数 $\sqrt{-F'}$ の振動、$F'>0$ なら指数関数的に離れる（近似の数理 第2章の相空間での線形化）。$F'(0)=\Omega^2-g/R$、$F'(\pi)=\Omega^2+g/R>0$、$F'(\theta_*)=\cos\theta_*(\Omega^2\cos\theta_*-g/R)-\Omega^2\sin^2\theta_*=-\Omega^2\sin^2\theta_*$ である。よって最上点はいつも不安定、最下点は $\Omega^2<g/R$ で安定で $\Omega^2>g/R$ で不安定、$\pm\theta_*$ は存在すれば安定である（図 1.2.3）。数値では $\sqrt{g/R}\approx7.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}<\Omega$ なので最下点は不安定で、$\cos\theta_*=9.81/(0.2\times100)=0.4905$、$\theta_*\approx60.6^\circ$。小さな振動の角振動数は $\Omega\sin\theta_*\approx8.71\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ である。

(6) $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(T+V)=mR^2\dot\theta\ddot\theta+mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta+mgR\sin\theta\,\dot\theta$。運動方程式 $mR^2\ddot\theta=mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta-mgR\sin\theta$ を入れると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(T+V)=2mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(mR^2\Omega^2\sin^2\theta\bigr)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(2T_0).$$

拘束が時間によるので、輪の力は仮想仕事はしないが実際の運動には仕事をし、そのため $T+V$ は保存しない（例題 1.2.5 と同じ事情）。上の式を移項すると $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(T+V-2T_0)=0$、すなわち

$$T_2-T_0+V=\frac{mR^2}{2}\dot\theta^2-\frac{mR^2\Omega^2}{2}\sin^2\theta-mgR\cos\theta$$

が保存する。これは $\dot\theta$ の2次の項に、「有効な位置エネルギー」$V-T_0$ を足した形で、(5) の平衡点はこの有効な位置エネルギーの停留点、安定な平衡点はその極小点である。極小点のまわりでは保存量の等高線が閉じるので、線形化に頼らずに安定性が言える。時間による拘束でも $T_2-T_0+V$ のような保存量が見つかる理由は、$L$ が時刻を直接含まないことにあり、第1部第10章の Noether の定理（時間の並進）で扱う。