速度と仮想変位

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第2章 §1.2.3　★★★ 速度は一般化速度の1次式。そこから「点を消す」恒等式と「微分の順序を入れ替える」恒等式が出る。時刻を止めた変位が仮想変位

一般化速度

運動とは、一般化座標が時刻の関数 $q_i(t)$ として変わることである。写像 (1.2.3) に $q(t)$ を入れて時刻で微分すると、連鎖律から

$$\dot{\bm{r}}_a=\sum_{i=1}^f\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial t}\tag{1.2.8}$$

を得る。$\dot q_i$ を一般化速度と呼ぶ。右辺の第1項は配置が一般化座標に沿って動くことによる速度、第2項は拘束そのものが動くことによる速度である。係数 $\partial\bm{r}_a/\partial q_i$ と $\partial\bm{r}_a/\partial t$ は $q$ と $t$ だけの関数なので、速度 $\dot{\bm{r}}_a$ は $(q,\dot q,t)$ の関数で、$\dot q$ については1次式（定数項 $\partial\bm{r}_a/\partial t$ つき）である。

後の章では、$T$ や $L$ を $q$・$\dot q$・$t$ の3組の変数の関数として扱い、$\partial/\partial q_i$ は $\dot q$ と $t$ を止めた偏微分、$\partial/\partial\dot q_i$ は $q$ と $t$ を止めた偏微分と約束する。式 (1.2.8) の右辺はこの約束のもとで $(q,\dot q,t)$ の関数として読む。1本の運動の上では $\dot q_i$ は $q_i(t)$ の導関数として決まるが、関数 $\dot{\bm{r}}_a(q,\dot q,t)$ の引数としては $q$ と $\dot q$ を独立に動かしてよい。この区別は 第1部第3章で、汎関数の言葉でもう一度扱う。

2つの恒等式

式 (1.2.8) から、この先何度も使う2つの恒等式がすぐに出る。

証明

式 (1.2.9)：式 (1.2.8) の右辺で $\dot q_i$ が現れるのは第1項の $i$ 番目だけで、その係数が $\partial\bm{r}_a/\partial q_i$ である。

式 (1.2.10)：左辺は $q$ と $t$ の関数 $\partial\bm{r}_a/\partial q_i$ を運動に沿って微分したものなので、連鎖律から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial q_i}=\sum_j\frac{\partial^2\bm{r}_a}{\partial q_j\,\partial q_i}\dot q_j+\frac{\partial^2\bm{r}_a}{\partial t\,\partial q_i}.$$

右辺は式 (1.2.8) を $\dot q$ と $t$ を止めて $q_i$ で偏微分したもので、$\sum_j\dfrac{\partial^2\bm{r}_a}{\partial q_i\,\partial q_j}\dot q_j+\dfrac{\partial^2\bm{r}_a}{\partial q_i\,\partial t}$ である。2回連続微分可能なので混合偏微分の順序は入れ替えてよく、両辺は等しい。

式 (1.2.9) は、分母と分子の点（時刻の微分）を同時に消してよいという形をしているので「点の消去」と呼ばれることがある。速度が $\dot q$ の1次式なので、この式が成り立つ。式 (1.2.10) は「$q_i$ での偏微分」と「運動に沿った時刻の微分」の順序を入れ替えてよいという式である。この2つは、1.2.5節で加速度を一般化座標の向きへ射影するときに使う。

仮想変位

拘束が時間によるとき、実際の運動で粒子が時間 $\mathrm{d} t$ のあいだに動く変位

$$\mathrm{d}\bm{r}_a=\sum_i\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial q_i}\mathrm{d} q_i+\frac{\partial \bm{r}_a}{\partial t}\mathrm{d} t\tag{1.2.11}$$

は、拘束が動く分 $(\partial\bm{r}_a/\partial t)\mathrm{d} t$ を含む。拘束力が仕事をするかどうかを論じるときには、この分を除いた変位が要る。

$\delta\bm{r}_a$ は、時刻 $t$ の拘束を凍結したまま、拘束を満たす範囲で配置を動かす向きを表す。$\delta q_i$ は「小さな差」ではなく、動かす向きを決める任意の数の組で、$\delta\bm{r}_a$ はそれに比例する1次の量として定義した。次の章（第1部第3章）では、経路の族を実数 $\epsilon$ で微分する操作として変分 $\delta$ を定義する。そこでも $\delta$ は時刻を止めた微分なので、各時刻での $\delta q(t)$ が、ここでの仮想変位の $\delta q$ にあたる。

回る棒の玉 (1.2.5) で比べると違いがはっきりする（図 1.2.1）。仮想変位 $\delta\bm{r}=(\cos\Omega t,\sin\Omega t,0)\,\delta q$ は時刻 $t$ の棒に沿っている。実際の変位は、棒の向きの単位ベクトル $\bm{e}_\rho=(\cos\Omega t,\sin\Omega t,0)$ とそれに垂直な $\bm{e}_\varphi=(-\sin\Omega t,\cos\Omega t,0)$ を使うと$\mathrm{d}\bm{r}=\bm{e}_\rho\,\mathrm{d} q+\Omega q\,\bm{e}_\varphi\,\mathrm{d} t$ で、棒に垂直な成分 $\Omega q\,\mathrm{d} t$ を持つ。

時間によらない拘束では $\partial\bm{r}_a/\partial t=0$ なので、実際の変位はいつも仮想変位の1つになる（$\delta q_i=\mathrm{d} q_i$ と選べばよい）。2つが違うのは拘束が動く場合だけである。