ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第2部 第4章 §2.4.3 ★★★ 固有関数は e i k ⋅ r u n k ( r ) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}(\bm{r}) e i k ⋅ r u n k ( r ) k \bm{k} k ε n ( k ) \varepsilon _n(\bm{k}) ε n ( k )
定理の2つの形
前節の結果を、波動関数の言葉に直す。
定理 2.4.1（Bloch の定理 ★★★）
周期ポテンシャル V ( r + R ) = V ( r ) V(\bm{r}+\bm{R})=V(\bm{r}) V ( r + R ) = V ( r ) H ^ = p ^ 2 / 2 m + V ( r ^ ) \hat H=\hat{\bm{p}}^2/2m+V(\hat{\bm{r}}) H ^ = p ^ 2 /2 m + V ( r ^ )
(a) ある波数 k \bm{k} k R \bm{R} R
ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) . (2.4.7) \psi(\bm{r}+\bm{R})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r}).\tag{2.4.7} ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) . ( 2.4.7 ) (b) 格子の周期を持つ関数 u ( r + R ) = u ( r ) u(\bm{r}+\bm{R})=u(\bm{r}) u ( r + R ) = u ( r )
ψ ( r ) = e i k ⋅ r u ( r ) . (2.4.8) \psi(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u(\bm{r}).\tag{2.4.8} ψ ( r ) = e i k ⋅ r u ( r ) . ( 2.4.8 )
証明 前節で、H ^ \hat H H ^ T ^ R ψ = e − i k ⋅ R ψ \hat T_{\bm{R}}\psi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi T ^ R ψ = e − i k ⋅ R ψ (2.4.5) ）を満たすように選べることを示した。定義 (2.4.1) から左辺は ψ ( r − R ) \psi(\bm{r}-\bm{R}) ψ ( r − R ) ψ ( r − R ) = e − i k ⋅ R ψ ( r ) \psi(\bm{r}-\bm{R})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r}) ψ ( r − R ) = e − i k ⋅ R ψ ( r ) R \bm{R} R − R -\bm{R} − R
(a) から (b)：u ( r ) ≔ e − i k ⋅ r ψ ( r ) u(\bm{r})\coloneqq\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}\psi(\bm{r}) u ( r ) : = e − i k ⋅ r ψ ( r ) u ( r + R ) = e − i k ⋅ ( r + R ) e i k ⋅ R ψ ( r ) = u ( r ) u(\bm{r}+\bm{R})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot(\bm{r}+\bm{R})}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r})=u(\bm{r}) u ( r + R ) = e − i k ⋅ ( r + R ) e i k ⋅ R ψ ( r ) = u ( r ) u u u ψ ( r + R ) = e i k ⋅ ( r + R ) u ( r ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) \psi(\bm{r}+\bm{R})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot(\bm{r}+\bm{R})}u(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r}) ψ ( r + R ) = e i k ⋅ ( r + R ) u ( r ) = e i k ⋅ R ψ ( r )
定理の名前は F. Bloch（1929）に由来する1 1 F. Bloch (1929), Z. Phys. 52 , 555.2 2 G. Floquet (1883), Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 , 47.e i k ⋅ R \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}} e i k ⋅ R ∣ ψ ∣ 2 = ∣ u ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2=\lvert u\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2 = ∣ u ∣ 2
固有関数が「選べる」と書いたのは、縮退があると H ^ \hat H H ^ k \bm{k} k cos ( k x ) \cos(kx) cos ( k x ) H ^ \hat H H ^ e i k x \mathrm{e}^{\mathrm{i} kx} e i k x e − i k x \mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx} e − i k x k k k k \bm{k} k
k \bm{k} k ψ = e i k ⋅ r u \psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u ψ = e i k ⋅ r u H ^ ψ = ε ψ \hat H\psi=\varepsilon \psi H ^ ψ = ε ψ p ^ ( e i k ⋅ r u ) = e i k ⋅ r ( p ^ + ℏ k ) u \hat{\bm{p}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}(\hat{\bm{p}}+\hbar\bm{k})u p ^ ( e i k ⋅ r u ) = e i k ⋅ r ( p ^ + ℏ k ) u
H ^ k u = ε u , H ^ k ≔ e − i k ⋅ r H ^ e i k ⋅ r = ( p ^ + ℏ k ) 2 2 m + V ( r ) (2.4.9) \hat H_{\bm{k}}u=\varepsilon u,\qquad \hat H_{\bm{k}}\coloneqq\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}\hat H\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}=\frac{(\hat{\bm{p}}+\hbar\bm{k})^2}{2m}+V(\bm{r})\tag{2.4.9} H ^ k u = ε u , H ^ k : = e − i k ⋅ r H ^ e i k ⋅ r = 2 m ( p ^ + ℏ k ) 2 + V ( r ) ( 2.4.9 )
を得る。u u u u u u k \bm{k} k
有限の領域の上の Schrödinger 型の固有値問題は、飛び飛びの固有値しか持たない（作用素の言葉では、レゾルベントがコンパクトになる。近似の数理 第3章 ）。そこで各 k \bm{k} k
ε 1 ( k ) ≤ ε 2 ( k ) ≤ ε 3 ( k ) ≤ ⋯ \varepsilon _1(\bm{k})\le\varepsilon _2(\bm{k})\le\varepsilon _3(\bm{k})\le\cdots ε 1 ( k ) ≤ ε 2 ( k ) ≤ ε 3 ( k ) ≤ ⋯
と並べ、対応する固有関数を u n k u_{n\bm{k}} u n k ψ n k = e i k ⋅ r u n k \psi_{n\bm{k}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}} ψ n k = e i k ⋅ r u n k n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … バンドの添字 、k \bm{k} k ε n ( k ) \varepsilon _n(\bm{k}) ε n ( k ) バンド （エネルギーバンド・分散関係）と呼ぶ。H ^ k \hat H_{\bm{k}} H ^ k k \bm{k} k ε n ( k ) \varepsilon _n(\bm{k}) ε n ( k ) k \bm{k} k k \bm{k} k ε n \varepsilon _n ε n ε \varepsilon ε H ^ \hat H H ^ 近似の数理 第12章 に送る3 3 周期 Schrödinger 作用素のスペクトルがバンドの値域の和集合で、絶対連続であることの証明は M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators (Academic Press, 1978), § XIII.16 と L. E. Thomas (1973), Commun. Math. Phys. 33 , 335。概観は P. Kuchment (2016), Bull. Amer. Math. Soc. 53 , 343。
バンドの3つの性質
命題 2.4.2（バンドの対称性 ★★★）
(1) ε n ( k + G ) = ε n ( k ) \varepsilon _n(\bm{k}+\bm{G})=\varepsilon _n(\bm{k}) ε n ( k + G ) = ε n ( k ) G \bm{G} G ψ n , k + G = ψ n k \psi_{n,\bm{k}+\bm{G}}=\psi_{n\bm{k}} ψ n , k + G = ψ n k u n , k + G = e − i G ⋅ r u n k u_{n,\bm{k}+\bm{G}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}} u n , k + G = e − i G ⋅ r u n k (2) V V V ε n ( − k ) = ε n ( k ) \varepsilon _n(-\bm{k})=\varepsilon _n(\bm{k}) ε n ( − k ) = ε n ( k ) (3) 周期境界条件のもとで、1本のバンドには k \bm{k} k N N N 2 N 2N 2 N
証明 (1) e − i G ⋅ r \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{r}} e − i G ⋅ r u ′ = e − i G ⋅ r u n k u'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}} u ′ = e − i G ⋅ r u n k e i ( k + G ) ⋅ r u ′ = ψ n k \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}+\bm{G})\cdot\bm{r}}u'=\psi_{n\bm{k}} e i ( k + G ) ⋅ r u ′ = ψ n k ψ n k \psi_{n\bm{k}} ψ n k k + G \bm{k}+\bm{G} k + G H ^ k + G \hat H_{\bm{k}+\bm{G}} H ^ k + G H ^ k \hat H_{\bm{k}} H ^ k n n n
(2) H ^ \hat H H ^ H ^ ψ = ε ψ \hat H\psi=\varepsilon \psi H ^ ψ = ε ψ H ^ ψ ∗ = ε ψ ∗ \hat H\psi^*=\varepsilon \psi^* H ^ ψ ∗ = ε ψ ∗ ψ n k \psi_{n\bm{k}} ψ n k (2.4.7) を満たすなら ψ n k ∗ \psi_{n\bm{k}}^* ψ n k ∗ ψ ∗ ( r + R ) = e − i k ⋅ R ψ ∗ ( r ) \psi^*(\bm{r}+\bm{R})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi^*(\bm{r}) ψ ∗ ( r + R ) = e − i k ⋅ R ψ ∗ ( r ) − k -\bm{k} − k ε \varepsilon ε
(3) 各 k \bm{k} k n n n k \bm{k} k (2.4.6) で第1 Brillouin 域の中に N N N
(3) は、第2部第7章 で金属と絶縁体を分ける勘定の出発点である。単位胞あたりの電子の数が偶数なら、いくつかのバンドがちょうど埋まりきる可能性があり、奇数なら必ず途中まで埋まったバンドが残る。
平面波で解く：中心方程式
式 (2.4.9) を実際に解く方法の1つとして、周期関数 u n k u_{n\bm{k}} u n k 第1部第2章 の流儀でポテンシャルを V ( r ) = ∑ G V G e i G ⋅ r V(\bm{r})=\sum_{\bm{G}}V_{\bm{G}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{r}} V ( r ) = ∑ G V G e i G ⋅ r ψ k = ∑ G c k + G e i ( k + G ) ⋅ r \psi_{\bm{k}}=\sum_{\bm{G}}c_{\bm{k}+\bm{G}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}+\bm{G})\cdot\bm{r}} ψ k = ∑ G c k + G e i ( k + G ) ⋅ r e i ( k + G ) ⋅ r \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}+\bm{G})\cdot\bm{r}} e i ( k + G ) ⋅ r
( ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 2 m − ε ) c k + G + ∑ G ′ V G − G ′ c k + G ′ = 0 (2.4.10) \Bigl(\frac{\hbar^2\lvert \bm{k}+\bm{G}\rvert ^2}{2m}-\varepsilon \Bigr)c_{\bm{k}+\bm{G}}+\sum_{\bm{G}'}V_{\bm{G}-\bm{G}'}c_{\bm{k}+\bm{G}'}=0\tag{2.4.10} ( 2 m ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 − ε ) c k + G + G ′ ∑ V G − G ′ c k + G ′ = 0 ( 2.4.10 )
を得る（中心方程式 ）。ポテンシャルは波数を逆格子ベクトルの分しかずらさないので、k \bm{k} k k + G \bm{k}+\bm{G} k + G k \bm{k} k G \bm{G} G (2.4.10) は G \bm{G} G ∣ G ∣ \lvert \bm{G}\rvert ∣ G ∣
1次元で V ( x ) = 2 V 1 cos ( 2 π x / a ) V(x)=2V_1\cos(2\pi x/a) V ( x ) = 2 V 1 cos ( 2 π x / a ) V ± 2 π / a = V 1 V_{\pm2\pi/a}=V_1 V ± 2 π / a = V 1 V G V_G V G 0 0 0 k = π / a k=\pi/a k = π / a
E z b ≔ ℏ 2 2 m ( π a ) 2 (2.4.11) E_{\mathrm{zb}}\coloneqq\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{\pi}{a}\Bigr)^2\tag{2.4.11} E zb : = 2 m ℏ 2 ( a π ) 2 ( 2.4.11 )
に取る（記号 E z b E_{\mathrm{zb}} E zb ε a \varepsilon _{\mathrm a} ε a κ = k a / π \kappa=ka/\pi κ = k a / π e i ( k + 2 π m / a ) x \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k+2\pi m/a)x} e i ( k + 2 π m / a ) x ( κ + 2 m ) 2 E z b (\kappa+2m)^2E_{\mathrm{zb}} ( κ + 2 m ) 2 E zb (2.4.10) は対角成分 ( κ + 2 m ) 2 (\kappa+2m)^2 ( κ + 2 m ) 2 m m m V 1 / E z b V_1/E_{\mathrm{zb}} V 1 / E zb ∣ m ∣ ≤ 12 \lvert m\rvert \le12 ∣ m ∣ ≤ 12 V 1 = 0.3 E z b V_1=0.3E_{\mathrm{zb}} V 1 = 0.3 E zb 2.4.1 である。
図 2.4.1 1次元の余弦ポテンシャル V ( x ) = 2 V 1 cos ( 2 π x / a ) V(x)=2V_1\cos(2\pi x/a) V ( x ) = 2 V 1 cos ( 2 π x / a ) V 1 = 0.3 E z b V_1=0.3E_{\mathrm{zb}} V 1 = 0.3 E zb 10 − 12 10^{-12} 1 0 − 12 V 1 → 0 V_1\to0 V 1 → 0 ( κ + 2 m ) 2 (\kappa+2m)^2 ( κ + 2 m ) 2 m = 0 , ± 1 m=0,\pm1 m = 0 , ± 1 k a = ± π ka=\pm\pi k a = ± π 0.599 E z b ≈ 2 V 1 0.599E_{\mathrm{zb}}\approx2V_1 0.599 E zb ≈ 2 V 1 k = 0 k=0 k = 0 0.045 E z b 0.045E_{\mathrm{zb}} 0.045 E zb V 1 V_1 V 1
図から読み取れることを3つ挙げる。第一に、すべてのバンドが k k k − k -k − k 2.4.2 (2)）、域の両端 k a = ± π ka=\pm\pi k a = ± π 空の格子 ）に近い。第三に、折り返した放物線が交わる点（域の端と中心）でだけバンドが離れてギャップが開く。ギャップの大きさが V 1 V_1 V 1 第2部第5章 でほぼ自由な電子の摂動論として扱う。この章で押さえるのは、ギャップが開いてもバンドの数え方（k k k n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , …
図 2.4.2 は、第1のバンドの k a = 0.4 π ka=0.4\pi k a = 0.4 π Re ψ \operatorname{Re}\psi Re ψ cos ( k x ) \cos(kx) cos ( k x ) x = a / 2 + j a x=a/2+ja x = a /2 + j a ∣ u ∣ = ∣ ψ ∣ \lvert u\rvert =\lvert \psi\rvert ∣ u ∣ = ∣ ψ ∣ a a a
図 2.4.2 図 2.4.1 の第1のバンドの k a = 0.4 π ka=0.4\pi k a = 0.4 π ψ ( 0 ) \psi(0) ψ ( 0 ) Re ψ \operatorname{Re}\psi Re ψ ∣ u ∣ = ∣ ψ ∣ \lvert u\rvert =\lvert \psi\rvert ∣ u ∣ = ∣ ψ ∣ cos k x \cos kx cos k x ∣ u ∣ \lvert u\rvert ∣ u ∣ a a a x = a / 2 + j a x=a/2+ja x = a /2 + j a Re ψ \operatorname{Re}\psi Re ψ cos ( 2 π ) \cos(2\pi) cos ( 2 π ) 5 × 0.4 π = 2 π 5\times0.4\pi=2\pi 5 × 0.4 π = 2 π
例題 2.4.3 Bloch 関数かどうかを見分ける ★★
オリジナル 格子定数 a a a (2.4.7) をある k k k k k k − π / a < k ≤ π / a -\pi/a<k\le\pi/a − π / a < k ≤ π / a u u u
(1) ψ ( x ) = sin ( π x / a ) \psi(x)=\sin(\pi x/a) ψ ( x ) = sin ( π x / a ) (2) ψ ( x ) = cos ( π x / 2 a ) \psi(x)=\cos(\pi x/2a) ψ ( x ) = cos ( π x /2 a ) (3) ψ ( x ) = e 0.3 i x / a ( 2 + cos ( 2 π x / a ) ) \psi(x)=\mathrm{e}^{0.3\mathrm{i} x/a}\bigl(2+\cos(2\pi x/a)\bigr) ψ ( x ) = e 0.3 i x / a ( 2 + cos ( 2 π x / a ) )
解答 (1) ψ ( x + a ) = sin ( π x / a + π ) = − ψ ( x ) = e i π ψ ( x ) \psi(x+a)=\sin(\pi x/a+\pi)=-\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\psi(x) ψ ( x + a ) = sin ( π x / a + π ) = − ψ ( x ) = e i π ψ ( x ) k a = π ka=\pi k a = π k = π / a k=\pi/a k = π / a − π / a -\pi/a − π / a u ( x ) = e − i π x / a sin ( π x / a ) = 1 2 i ( 1 − e − 2 i π x / a ) u(x)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi x/a}\sin(\pi x/a)=\frac{1}{2\mathrm{i}}\bigl(1-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi x/a}\bigr) u ( x ) = e − i π x / a sin ( π x / a ) = 2 i 1 ( 1 − e − 2 i π x / a ) a a a sin \sin sin e ± i π x / a \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi x/a} e ± i π x / a π / a \pi/a π / a − π / a -\pi/a − π / a 2 π / a 2\pi/a 2 π / a k k k k k k
(2) ψ ( x + a ) = cos ( π x / 2 a + π / 2 ) = − sin ( π x / 2 a ) \psi(x+a)=\cos(\pi x/2a+\pi/2)=-\sin(\pi x/2a) ψ ( x + a ) = cos ( π x /2 a + π /2 ) = − sin ( π x /2 a ) ψ ( x + a ) / ψ ( x ) = − tan ( π x / 2 a ) \psi(x+a)/\psi(x)=-\tan(\pi x/2a) ψ ( x + a ) / ψ ( x ) = − tan ( π x /2 a ) x x x e i k a \mathrm{e}^{\mathrm{i} ka} e i k a cos ( π x / 2 a ) = 1 2 ( e i π x / 2 a + e − i π x / 2 a ) \cos(\pi x/2a)=\frac12(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi x/2a}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi x/2a}) cos ( π x /2 a ) = 2 1 ( e i π x /2 a + e − i π x /2 a ) k = ± π / 2 a k=\pm\pi/2a k = ± π /2 a k k k π / a \pi/a π / a 2 π / a 2\pi/a 2 π / a 2 a 2a 2 a ψ ( x + 2 a ) = − ψ ( x ) \psi(x+2a)=-\psi(x) ψ ( x + 2 a ) = − ψ ( x )
(3) ψ ( x + a ) = e 0.3 i e 0.3 i x / a ( 2 + cos ( 2 π x / a + 2 π ) ) = e 0.3 i ψ ( x ) \psi(x+a)=\mathrm{e}^{0.3\mathrm{i}}\mathrm{e}^{0.3\mathrm{i} x/a}(2+\cos(2\pi x/a+2\pi))=\mathrm{e}^{0.3\mathrm{i}}\psi(x) ψ ( x + a ) = e 0.3 i e 0.3 i x / a ( 2 + cos ( 2 π x / a + 2 π )) = e 0.3 i ψ ( x ) k = 0.3 / a k=0.3/a k = 0.3/ a u ( x ) = 2 + cos ( 2 π x / a ) u(x)=2+\cos(2\pi x/a) u ( x ) = 2 + cos ( 2 π x / a ) k a = 0.3 ka=0.3 k a = 0.3 π \pi π
1 F. Bloch (1929), Z. Phys. 52 , 555.
2 G. Floquet (1883), Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 , 47.
3 周期 Schrödinger 作用素のスペクトルがバンドの値域の和集合で、絶対連続であることの証明は M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators (Academic Press, 1978), § XIII.16 と L. E. Thomas (1973), Commun. Math. Phys. 33 , 335。概観は P. Kuchment (2016), Bull. Amer. Math. Soc. 53 , 343。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
