当てる道具：屈折率楕円体と2つの固有モード

光学と量子エレクトロニクス　第15章 §15.2　★★★ 決まった向きに進む平面波は、電束密度が屈折率楕円体の断面の楕円の長軸と短軸を向く2つの直線偏光に分かれ、屈折率はその半軸の長さになる。一軸性では常光線と異常光線になり、異常光線ではエネルギーの流れが波数の向きからずれる

物質中の平面波の方程式

磁性の無い媒質（$\bm{B}=\mu_0\bm{H}$）で、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}$ の平面波を Maxwell 方程式に入れると、$\bm{k}\times\bm{E}=\omega\bm{B}$ と $\bm{k}\times\bm{H}=-\omega\bm{D}$ から

$$\bm{k}\times(\bm{k}\times\bm{E})+k_0^2\,\varepsilon_{\mathrm r}\bm{E}=0\tag{15.6}$$

を得る（$\varepsilon_{\mathrm r}$ は3×3 のテンソル、$\bm{D}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}\bm{E}$）。$\bm{k}=nk_0\bm{u}$（$\bm{u}$ は進む向きの単位ベクトル、$n$ は屈折率）と書く。

第2式から $\bm{D}$ は $\bm{k}$ にも $\bm{H}$ にも垂直である。$\bm{E}$ はテンソルを通して $\bm{D}$ と結びついているので、一般には $\bm{k}$ に垂直でない。そこで未知数を $\bm{D}$ に取り替える。$\bm{E}=\varepsilon_0^{-1}\eta\bm{D}$（$\eta=\varepsilon_{\mathrm r}^{-1}$ は誘電率の逆のテンソルで、逆誘電率テンソルと呼ぶ）を式 (15.6) に入れ、$\bm{u}\times(\bm{u}\times\bm{X})=-\bm{X}_\perp$（$\bm{X}_\perp$ は $\bm{u}$ に垂直な成分）を使うと

$$(\eta\bm{D})_\perp=\frac{1}{n^2}\bm{D}\tag{15.7}$$

になる。$\bm{D}$ は $\bm{u}$ に垂直な平面の中のベクトルで、式 (15.7) は、$\eta$ をその平面に制限した2×2 の対称行列の固有値問題である。固有値は2つあり、それぞれが $1/n^2$ に等しく、固有ベクトルが $\bm{D}$ の向きになる。対称行列の固有ベクトルは直交するので、2つの固有モードの $\bm{D}$ は互いに直交する直線偏光である。

屈折率楕円体

主軸の座標では $\eta=\mathrm{diag}(1/n_x^2,1/n_y^2,1/n_z^2)$ で、2次形式 $\sum_i\eta_{ii}x_i^2=1$、つまり

$$\frac{x^2}{n_x^2}+\frac{y^2}{n_y^2}+\frac{z^2}{n_z^2}=1\tag{15.8}$$

は半軸が $n_x,n_y,n_z$ の楕円体になる。これを屈折率楕円体と呼ぶ。原点を通り $\bm{u}$ に垂直な平面でこの楕円体を切ると、断面は楕円になる。断面の上の2次形式は $\eta$ をその平面に制限したものなので、断面の楕円の長軸と短軸の向きが式 (15.7) の固有ベクトルで、半軸の長さ $1/\sqrt{\text{固有値}}$ が2つの屈折率 $n$ になる。2つの屈折率を代数で書くと、式 (15.6) の行列式が $0$ になる条件として、Fresnel の法線方程式

$$\sum_{i=x,y,z}\frac{u_i^2}{n^{-2}-n_i^{-2}}=0\tag{15.9}$$

を得る。断面が円になる向きでは2つの屈折率が等しく、どんな偏光も変わらずに進む。この向きが光学軸で、二軸性の結晶では2本、一軸性の結晶では $z$ 軸の1本である。

一軸性：常光線と異常光線

一軸性の結晶で、光学軸と角 $\theta$ をなす向き $\bm{u}=(\sin\theta,0,\cos\theta)$ に進む波を考える。楕円体は $z$ 軸のまわりに回転対称なので、断面の楕円の一方の半軸は常に $xy$ 面の中にあって長さ $n_{\mathrm o}$ である。この半軸の向き（$y$ 向き）に $\bm{D}$ を持つ波を常光線と呼び、屈折率は進む向きによらず $n_{\mathrm o}$ である。もう一方の半軸は $\bm{u}$ と $z$ 軸を含む面の中にあり、$\bm{D}\propto(\cos\theta,0,-\sin\theta)$ の向きの波を異常光線と呼ぶ。この $\bm{D}$ を式 (15.7) に入れると、屈折率は

$$\frac{1}{n(\theta)^2}=\frac{\cos^2\theta}{n_{\mathrm o}^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_{\mathrm e}^2}\tag{15.10}$$

になる。$\theta=0$（光学軸に沿う）で $n=n_{\mathrm o}$、$\theta=90^\circ$ で $n=n_{\mathrm e}$ である。

異常光線では $\bm{E}\propto\eta\bm{D}\propto(\cos\theta/n_{\mathrm o}^2,0,-\sin\theta/n_{\mathrm e}^2)$ が $\bm{D}$ と平行でない。エネルギーの流れ $\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}$ は $\bm{E}$ に垂直なので、$\bm{k}$（$\bm{D}$ に垂直）と同じ角だけずれる。$\bm{D}$ と $\bm{E}$ の向きの角を計算すると、$\bm{S}$ と $\bm{k}$ のなす角 $\varrho$ は

$$\tan\varrho=\frac{(n_{\mathrm o}^2-n_{\mathrm e}^2)\sin\theta\cos\theta}{n_{\mathrm e}^2\cos^2\theta+n_{\mathrm o}^2\sin^2\theta}\tag{15.11}$$

になる。この角を walk-off 角と呼ぶ。$\theta=0$ と $90^\circ$ で $0$ になり、$\tan\theta=n_{\mathrm e}/n_{\mathrm o}$ で最大値 $\tan\varrho_{\max}=(n_{\mathrm o}^2-n_{\mathrm e}^2)/(2n_{\mathrm o}n_{\mathrm e})$ をとる。光学軸に斜めに切った結晶に垂直に光を入れると、境界で波数の接線成分が保存するので $\bm{k}$ はどちらの偏光でも面に垂直のまま進むが、異常光線のエネルギーは $\varrho$ だけ斜めに流れる。そのため、出てくる光は偏光の違う2本のビームに分かれる。これが方解石で文字が二重に見える複屈折である。