出てくるもの（1）：Jones ベクトルと波長板

光学と量子エレクトロニクス　第15章 §15.3　★★★ 偏光は2成分の複素ベクトルで書け、光学素子は2×2 の行列になる。波長板は進相軸と遅相軸の位相差 $\Gamma$ を付ける行列で、$\lambda/4$ 板は直線偏光を円偏光に、$\lambda/2$ 板は直線偏光の向きを $2\theta$ 回す

Jones ベクトル

$z$ 向きに進む平面波の電場を

$$\bm{E}(z,t)=\operatorname{Re}\bigl[(E_x\bm{e}_x+E_y\bm{e}_y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}\bigr]\tag{15.12}$$

と書き、複素振幅の組を規格化した $\psi=(\psi_x,\psi_y)^{\mathsf T}=(E_x,E_y)^{\mathsf T}/\sqrt{\lvert E_x\rvert ^2+\lvert E_y\rvert ^2}$ をJones ベクトルと呼ぶ。全体の位相の因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ は偏光の形を変えない。代表的な偏光には次の記号を使う。

$$| H \rangle =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\ | V \rangle =\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\ | D \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\ | A \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\ | \pm \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\pm\mathrm{i}\end{pmatrix}.\tag{15.13}$$

$| H \rangle ,| V \rangle$ は水平と垂直、$| D \rangle ,| A \rangle$ は $\pm45^\circ$ の直線偏光である。2つの Jones ベクトルの内積を $\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle =\psi_1^\dagger\psi_2$ と書く。

$| + \rangle$ の場は、$z=0$ で $\bm{E}=\frac{1}{\sqrt2}(\cos\omega t\,\bm{e}_x+\sin\omega t\,\bm{e}_y)$ で、時間とともに $x$ から $y$ の向きに回る。光源に向かって（$z$ 軸が自分に向かう向きで）見ると反時計回りで、角運動量は進む向きに $+\hbar$ を持つ（螺旋度 $+1$）。光学の教科書の多くはこの偏光を「左回り円偏光」と呼び、工学（アンテナ）の分野では「右旋円偏光」と呼ぶ。呼び名が分野で逆になるので、この章では螺旋度の符号 $\pm$ で呼ぶ。第1節の式 (15.4) の $n_+$ は螺旋度 $+$ の円偏光の屈折率である。

波長板と Jones 行列

光学素子に入る前と出た後の Jones ベクトルは線形の関係にあり、2×2 の行列（Jones 行列）で書ける。15.2節で見たとおり、一軸性の結晶を光学軸が表面に平行になるように切った板に垂直に光を入れると、光学軸に平行な偏光と垂直な偏光が固有モードで、屈折率は $n_{\mathrm e}$ と $n_{\mathrm o}$ になる。屈折率の小さいほうの軸を進相軸、大きいほうを遅相軸と呼ぶ。厚さ $d$ の板を通ると、遅相軸の成分は進相軸の成分より

$$\Gamma=\frac{2\pi\,\lvert n_{\mathrm e}-n_{\mathrm o}\rvert \,d}{\lambda_0}\tag{15.14}$$

だけ多く位相が進む（$\mathrm{e}^{\mathrm{i} nk_0d}$ の $n$ が大きい）。$\Gamma$ を位相差（リターデーション）と呼ぶ。進相軸を $x$ に取ると、共通の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n_{\mathrm{fast}}k_0d}$ を除いて、板の行列は $\mathrm{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma})$ である。進相軸が $x$ 軸から角 $\theta$ だけ傾いているときは、座標を回して戻す。実空間で $x$ から $y$ の向きに角 $\phi$ 回す行列を

$$\mathsf R(\phi)=\begin{pmatrix}\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi\end{pmatrix}$$

と書くと、波長板の Jones 行列は

$$\mathsf W(\theta,\Gamma)=\mathsf R(\theta)\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma}\end{pmatrix}\mathsf R(-\theta)\tag{15.15}$$

になる。$\Gamma=\pi/2$ の板を $\lambda/4$ 板、$\Gamma=\pi$ の板を $\lambda/2$ 板と呼ぶ。

$\lambda/2$ 板の行列は

$$\mathsf W(\theta,\pi)=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}\tag{15.16}$$

で、これは進相軸を鏡とする折り返しである。$x$ から角 $\phi_0$ の直線偏光は、進相軸について折り返されて角 $2\theta-\phi_0$ の直線偏光になる。板を $\delta$ 回すと偏光は $2\delta$ 回る。$\lambda/4$ 板を進相軸 $-45^\circ$ に置くと、$| H \rangle$ は進相軸と遅相軸に同じ振幅で分かれ、遅相軸（$+45^\circ$）の成分が $\pi/2$ 遅れて、$\mathsf W(-\pi/4,\pi/2)| H \rangle$ は位相を除いて $| + \rangle$ になる。進相軸を $+45^\circ$ に置けば $| - \rangle$ になる。

偏光子（$x$ 向きの偏光だけを通す）は射影 $\mathsf P_H=| H \rangle \langle H |=\mathrm{diag}(1,0)$ で、角 $\theta$ の偏光子は $\mathsf P_\theta=\mathsf R(\theta)\mathsf P_H\mathsf R(-\theta)$ である。旋光性の媒質（式 (15.5)）の行列は回転 $\mathsf R(\phi_{\mathrm{rot}})$ そのもので、固有ベクトルは $| \pm \rangle$、固有値は $\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}\phi_{\mathrm{rot}}}$ である。素子を順に通るときは、行列を右から左へ掛ける。

直交した偏光子の間の板

直交した2枚の偏光子（$\mathsf P_H$ と $\mathsf P_V$）の間に、進相軸が $45^\circ$ の板を置く。$\mathsf W(\pi/4,\Gamma)| H \rangle$ の $y$ 成分は $(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma})/2$ で、透過率は

$$T=\sin^2\frac{\Gamma}{2}=\sin^2\frac{\pi\,\Delta n\,d}{\lambda_0}\tag{15.17}$$

になる（$\Delta n=\lvert n_{\mathrm e}-n_{\mathrm o}\rvert$）。板の向きが一般の $\theta$ なら $T=\sin^22\theta\,\sin^2(\Gamma/2)$ である。$\Gamma$ は $1/\lambda_0$ に比べて変わるので、白い光を入れると透過する色が $\Delta n\,d$ で決まる。偏光顕微鏡で鉱物や応力のかかったプラスチックに色が付いて見えるのは、この干渉の色である。