出てくるもの（2）：Stokes パラメータと Poincaré 球

光学と量子エレクトロニクス　第15章 §15.4　★★★ 偏光は4つの強度の測定（Stokes パラメータ）で決まり、完全な偏光は単位球（Poincaré 球）の上の点になる。Jones ベクトルは2準位系の状態ベクトルと同じ形なので、Poincaré 球は Bloch 球で、波長板はその上の回転になる

Stokes パラメータ

Jones ベクトルの全体の位相は測れないので、測れる量は位相によらない2次の組み合わせである。それを

$$S_0=\lvert E_x\rvert ^2+\lvert E_y\rvert ^2,\quad S_1=\lvert E_x\rvert ^2-\lvert E_y\rvert ^2,\quad S_2=2\operatorname{Re}(E_x^*E_y),\quad S_3=2\operatorname{Im}(E_x^*E_y)\tag{15.18}$$

と書き、Stokes パラメータと呼ぶ。4つとも強度の差として測れる。$S_1=I_H-I_V$、$S_2=I_D-I_A$、$S_3=I_+-I_-$ で、$I_H$ は $x$ 向きの偏光子を通した強度、$I_+$ は螺旋度 $+$ の円偏光だけを通す素子（進相軸 $+45^\circ$ の $\lambda/4$ 板で $| + \rangle$ を $| H \rangle$ に戻してから $x$ 向きの偏光子）を通した強度である。完全に偏光した光では $S_0^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$ が成り立つので、規格化した $\bm{s}=(S_1,S_2,S_3)/S_0$ は単位球の上の点になる。この球を Poincaré 球と呼ぶ。

偏光の楕円の長軸が $x$ 軸となす角を $\theta$、短軸と長軸の比を $\tan\beta$（$\beta$ を楕円率角と呼び、符号は回る向き）とすると、Jones ベクトルは $\mathsf R(\theta)(\cos\beta,\mathrm{i}\sin\beta)^{\mathsf T}$ と書け、

$$\bm{s}=(\cos2\beta\cos2\theta,\ \cos2\beta\sin2\theta,\ \sin2\beta)\tag{15.19}$$

になる。直線偏光（$\beta=0$）は赤道、$| \pm \rangle$ は北極と南極で、楕円の傾き $\theta$ は経度 $2\theta$ になる。角が2倍になるのは、$\theta$ と $\theta+\pi$ の楕円が同じ偏光だからである。$| H \rangle$ と $| V \rangle$ のように直交する偏光は球の反対側の点になる。

Poincaré 球は Bloch 球である

式 (15.18) を Pauli 行列で書き直すと

$$S_1=\psi^\dagger\sigma_z\psi,\qquad S_2=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\qquad S_3=\psi^\dagger\sigma_y\psi\tag{15.20}$$

になる（$S_0=1$ に規格化した）。これは2準位系の状態 $\psi$ の Bloch ベクトル $(\langle \sigma_x \rangle ,\langle \sigma_y \rangle ,\langle \sigma_z \rangle )$ の成分を、$(\sigma_z,\sigma_x,\sigma_y)$ の順に並べ替えたものである。$(z,x,y)$ は $(x,y,z)$ を巡回させた並びなので、座標の右手と左手は変わらない。したがって Poincaré 球は Bloch 球と同じ球で、偏光の $| H \rangle ,| V \rangle$ が2準位系の $| e \rangle ,| g \rangle$ に、円偏光 $| \pm \rangle$ が $\sigma_y$ の固有状態に当たる。2つの偏光の重なり $\lvert \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle \rvert ^2$ は、球の上の2点の角距離 $\vartheta_{12}$ を使って $\cos^2(\vartheta_{12}/2)$ になる。これは偏光子の Malus の法則（$\cos^2$ の角が球の上では2倍になる）で、2準位系で状態を測ったときの確率と同じ式である。

波長板の行列 (15.15) は、進相軸を $x$ に取ると $\mathrm{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma/2}\exp(-\mathrm{i}\Gamma\sigma_z/2)$ と書ける。2準位系では $\exp(-\mathrm{i}\Gamma\sigma_z/2)$ は Bloch ベクトルを $z$ 軸のまわりに角 $\Gamma$ だけ回す。Poincaré 球では $\sigma_z$ の軸は $S_1$ 軸なので、進相軸が $x$ の波長板は $S_1$ 軸のまわりの角 $\Gamma$ の回転になる。進相軸が $\theta$ の板は、その回転軸を経度 $2\theta$ に回したものである。

たとえば $| H \rangle$（$S_1=1$）に進相軸 $-45^\circ$（経度 $-90^\circ$、つまり $-S_2$ 軸）の $\lambda/4$ 板を当てると、$-S_2$ 軸のまわりの $90^\circ$ の回転で北極 $| + \rangle$ に移る。これは前節で行列を計算した結果と一致する。2準位系の言葉では、波長板は共鳴の Rabi 回転（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章 の歳差）で、Poincaré 球の回転軸と回転角は、Bloch 球の上の有効磁場の向きと Rabi の位相角に当たる。

部分的に偏光した光とコヒーレンシー行列

太陽光や熱い光源の光は、偏光が速く乱れて、時間平均では一部しか偏光していない。このとき Stokes パラメータは強度の時間平均として定義され、$S_0^2\ge S_1^2+S_2^2+S_3^2$ になる。偏光度を

$$P_{\mathrm{pol}}=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}\tag{15.21}$$

で定める。2×2 の行列 $\hat\rho=\langle \psi\psi^\dagger \rangle$（時間平均、$S_0=1$ に規格化）をコヒーレンシー行列と呼ぶ。式 (15.20) と同じ並べ替えで

$$\hat\rho=\frac12\bigl(1+s_1\sigma_z+s_2\sigma_x+s_3\sigma_y\bigr),\qquad s_i=S_i/S_0\tag{15.22}$$

と書け、これは2準位系の密度行列と同じ形である。偏光度は Bloch ベクトルの長さで、偏光していない光は球の中心 $\hat\rho=\frac12$ に当たる。どんな部分的に偏光した光も、強度 $P_{\mathrm{pol}}S_0$ の完全な偏光と強度 $(1-P_{\mathrm{pol}})S_0$ の偏光していない光の和に分けられる。偏光していない光は、どんな波長板を通しても偏光していないまま残る。