出てくるもの（3）：Pancharatnam の位相

光学と量子エレクトロニクス　第15章 §15.5　★★★ 偏光を Poincaré 球の上で閉じた道に沿って変えて元に戻すと、光は道が囲む立体角の半分の位相を受ける。式は Berry 位相と同じで、$\lambda/2$ 板の向きで位相を変える幾何学的な位相板の原理になる

異なる偏光の間の位相

同じ偏光の2つの光の位相差は、重ねたときの干渉で決まる。偏光が違う2つの光の位相差は、Pancharatnam（S. Pancharatnam (1956)、Proc. Indian Acad. Sci. A 44, 247）が次のように定めた。2つの光 $\psi_1,\psi_2$ を重ねた強度は $\lvert \psi_1+\psi_2\rvert ^2=2+2\operatorname{Re}\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle$ で、$\psi_2$ の全体の位相を変えると強度が変わる。強度が最大になるとき、すなわち $\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle$ が正の実数のとき、2つの光は同じ位相にあると定める。直交していない2つの偏光は、この意味で必ず位相を比べられる。$\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle$ の偏角 $\arg\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle$ が $\psi_1$ から見た $\psi_2$ の位相の進みである。

この定め方には、推移律が成り立たないという性質がある。$| B \rangle$ が $| A \rangle$ と同じ位相にあり、$| C \rangle$ が $| B \rangle$ と同じ位相にあっても、$| A \rangle$ が $| C \rangle$ と同じ位相にあるとは限らない。具体的に、偏光子を $A\to B\to C\to A$ の順に通すと、出てくる光は

$$\mathsf P_A\mathsf P_C\mathsf P_B| A \rangle =\langle A | C \rangle \langle C | B \rangle \langle B | A \rangle | A \rangle\tag{15.23}$$

で、偏光子を1枚通るたびに光は直前の偏光と同じ位相の状態に射影される。最後に元の偏光 $| A \rangle$ に戻ったとき、入ってきた光から見た位相は $\Phi=\arg(\langle A | C \rangle \langle C | B \rangle \langle B | A \rangle )$ で、一般に $0$ にならない。この位相はどの状態の全体の位相を取り替えても変わらない（各ケットとブラが1回ずつ現れるので打ち消し合う）。

立体角の半分

$\Phi$ を Poincaré 球の上で計算する。式 (15.20) により、偏光は Bloch 球の上の2準位系の状態と同じなので、2準位系の結果をそのまま使える。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章 で示したとおり、状態の列 $| n_1 \rangle ,\dots,| n_N \rangle ,| n_1 \rangle$ に対して、離散の Berry 位相 $\gamma=-\arg\prod_k\langle n_k | n_{k+1} \rangle$ はゲージによらず、スピン $\frac12$ の状態では、Bloch ベクトルの道が囲む立体角を $\Theta_{\mathrm C}$ として $\gamma=-\Theta_{\mathrm C}/2$ になる。$\gamma$ の定義の積の複素共役が式 (15.23) の係数なので $\Phi=\gamma$ で、

$$\Phi=\arg\bigl(\langle A | C \rangle \langle C | B \rangle \langle B | A \rangle \bigr)=-\frac{\Theta_{\mathrm C}}{2}\tag{15.24}$$

を得る。ここで $\Theta_{\mathrm C}$ は、Poincaré 球の上で $A,B,C$ を大円の弧で順に結んだ球面三角形の立体角で、道を外から見て反時計回りにたどるときを正とする。3点のときは、式 (15.23) の係数を2準位系の内積として直接計算しても、同じ結果が確かめられる。球面三角形の3つの頂点を $\bm{s}_A,\bm{s}_B,\bm{s}_C$ とすると

$$\tan\frac{\Theta_{\mathrm C}}{2}=\frac{\bm{s}_A\cdot(\bm{s}_B\times\bm{s}_C)}{1+\bm{s}_A\cdot\bm{s}_B+\bm{s}_B\cdot\bm{s}_C+\bm{s}_C\cdot\bm{s}_A}$$

で、$\langle A | C \rangle \langle C | B \rangle \langle B | A \rangle$ の偏角はこの右辺の逆正接に一致する。

$\lambda/2$ 板による幾何学的な位相

偏光子は強度を捨てるが、波長板を使えば強度を捨てずに同じ位相を作れる。式 (15.16) を $| + \rangle$ に当てると

$$\mathsf W(\theta,\pi)| + \rangle =\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}| - \rangle ,\qquad\mathsf W(\theta,\pi)| - \rangle =\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}| + \rangle\tag{15.25}$$

で、$\lambda/2$ 板は円偏光の螺旋度を反転させ、板の向き $\theta$ に比例する位相 $\pm2\theta$ を付ける。Poincaré 球の上では、北極から、経度 $2\theta$ の進相軸のまわりの $\pi$ の回転で、南極へ大円の半分をたどる。回転軸が状態の Bloch ベクトルと常に直交しているので、生成子 $\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\sigma}$ の期待値は道の上でずっと $0$ で、動的な位相は付かない。板の中の共通の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n_{\mathrm o}+n_{\mathrm e})k_0d/2}$ は $\theta$ によらない。$\theta$ によって変わる位相 $2\theta$ はすべて幾何学的な位相である。

これを立体角で確かめる。向きが $\theta$ と $\theta'$ の2枚の $\lambda/2$ 板を考えると、北極から南極への2つの道は経度が $2(\theta'-\theta)$ だけ違う。一方の道で南極へ行き、もう一方の道を逆にたどって北極へ戻る閉じた道は、開き角 $2(\theta'-\theta)$ の月形を囲み、立体角は $4(\theta'-\theta)$ である。式 (15.24) の立体角の半分の大きさ $2\lvert \theta'-\theta\rvert$ が、2枚の板を通った光の相対的な位相 $2\theta'-2\theta$ の大きさと一致する（符号は道をたどる向きで決まる）。

板の向き $\theta$ を場所によって変えた板（軸の向きの模様を持つ液晶の膜や微細構造の膜）を作ると、場所ごとに位相 $2\theta(x,y)$ を持つ位相板になる。厚さを変えずに、軸の向きだけでレンズや回折格子が作れる。このような素子を Pancharatnam–Berry 位相素子と呼ぶ。位相の符号は螺旋度で逆になるので、同じ素子が $| + \rangle$ には凸レンズ、$| - \rangle$ には凹レンズとしてはたらく。