何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第15章 §15.6　★★ 応答を局所的として旋光性だけを1次で残したことと、ねじれた媒質で偏光が軸に追随する断熱の近似の2つを札にする。測る量は複屈折・Stokes パラメータ・Pancharatnam の位相の干渉。授業の常光線・異常光線と Jones 行列は、時間の符号の流儀を除いて同じ式である

置いた近似

1つ目は、応答を局所的とみなし、波数 $\bm{k}$ への依存性を $ka$ の1次（旋光性）で打ち切ったことである。0次の項は対称な実のテンソル $\chi_{ij}$ で、1次の項は式 (15.3) である。2次の項まで入れると立方晶の結晶でも屈折率がわずかに向きによって変わるが、その大きさは $(ka)^2$ の桁で、可視光ではふつう無視できる。第10章の札と同じく、これは媒質を巨視的に平均する近似の一部である。

2つ目は、場所とともに光学軸の向きがゆっくり変わる媒質で、偏光が軸に追随するとしたことである。代表例はねじれネマティック（TN）液晶の層で、厚さ $d$ の間に遅相軸（分子の向き）が角 $\varphi_{\mathrm t}$ だけ一様にねじれる。ねじれの率を $\xi=\varphi_{\mathrm t}/d$ と書く。遅相軸の向きを $\varphi(z)=\xi z$ として、Jones ベクトルを軸とともに回る座標で $\psi=\mathsf R(\varphi)\chi$ と書くと、$\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} z}=\mathrm{i} k_0\mathsf R(\varphi)\mathrm{diag}(n_{\mathrm e},n_{\mathrm o})\mathsf R(-\varphi)\psi$ は

$$\frac{\mathrm{d} \chi}{\mathrm{d} z}=\mathrm{i}\Bigl(k_0\bar n+b\,\sigma_z+\xi\sigma_y\Bigr)\chi,\qquad b=\frac{\pi\Delta n}{\lambda_0},\quad\bar n=\frac{n_{\mathrm e}+n_{\mathrm o}}{2}\tag{15.26}$$

になる。回る座標で見ると係数が一定になり、厳密に解ける。$\xi\sigma_y$ の項は座標が回ることから出る項で、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章 の回る枠の厳密解の $-\hbar\omega/2$ の項と同じ役割をする。入口で遅相軸に平行な直線偏光を入れると、出口で軸に垂直な偏光へ漏れる割合は、$\varphi_{\mathrm t}=\pi/2$ のとき

$$T_{\mathrm{leak}}=\frac{\sin^2\bigl(\frac\pi2\sqrt{1+u^2}\bigr)}{1+u^2},\qquad u=\frac{b}{\xi}=\frac{2\Delta n\,d}{\lambda_0}\tag{15.27}$$

になる（C. H. Gooch, H. A. Tarry (1975)、J. Phys. D 8, 1575 の式の $90^\circ$ の場合）。$u\gg1$、つまりねじれの率が2つの固有モードの波数の差 $2b$ に比べて小さいとき、漏れは $1/(1+u^2)$ 以下になり、偏光は軸に追随して $90^\circ$ 回る。これを Mauguin の条件と呼ぶ。2つの固有モードの波数の差がエネルギーのギャップ、ねじれの率が変化の速さに当たるので、これは断熱定理と同じ構造の近似である。

3つ目に、Jones 計算そのものが、単色で完全にコヒーレントな平面波を前提にしている。板の表面での反射（第14章、第14章）とその多重反射の干渉、斜めに入る光での位相差の角度依存性も無視した。部分的に偏光した光は 15.4節のコヒーレンシー行列で扱えるが、それは2×2 の行列を Mueller の4×4 の行列に広げることにあたる。

何の実験の量で確かめるか

複屈折 $\Delta n$ は、直交した偏光子の間で板を回したときの透過率 (15.17) の波長依存性から測る。透過率が $0$ になる波長の列から $\Delta n\,d/\lambda_0$ が整数になる所が分かり、厚さ $d$ が分かれば $\Delta n$ が決まる。結晶の2つの屈折率は、光学軸に平行と垂直に切ったプリズムで、それぞれの偏光の最小偏角を測って決める。walk-off は、例題 15.2 の2本のビームの間隔から読める。

Stokes パラメータは、回転する $\lambda/4$ 板と固定した偏光子を組み合わせた偏光計で測る。板の向き $\theta$ を回すと透過強度は $\theta$ の $2\theta$ と $4\theta$ の Fourier 成分を持ち、その係数から $S_0$ から $S_3$ までが決まる。

Pancharatnam の位相は、干渉計の一方の腕で偏光を Poincaré 球の上の閉じた道に沿って変え、元の偏光に戻したときの干渉縞のずれとして測られた。Bhandari と Samuel（R. Bhandari, J. Samuel (1988)、Phys. Rev. Lett. 60, 1211）は、レーザーの干渉計で、位相の変化が道の囲む立体角の半分に等しいことを確かめた。偏光の幾何学的な位相と量子力学の Berry 位相の関係は、Berry（M. V. Berry (1987)、J. Mod. Opt. 34, 1401）が2×2 の行列の代数で示した。

授業で習った形との対応

学部の光学の授業では、一軸性の結晶の中の光を、Huygens の2次波で説明する。常光線の2次波は球面、異常光線の2次波は回転楕円面として描き、それらの包絡面が波面になる。この章の言葉では、2次波の面はエネルギーの流れ（光線）の速さの向き依存性を表す光線速度面で、屈折率楕円体の式 (15.8) とは $n_i$ を $1/n_i$ に替えた双対の関係にある。光線の向きと波面の法線の向きがずれる角が、式 (15.11) の walk-off 角である。異常光線の屈折率の式 (15.10) は、授業の式と同じである。

Jones 行列は授業でも同じ形で習うが、教科書によって時間の因子を $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}$ に取るものがある（第10章の工学の流儀の表）。その流儀の Jones ベクトルは、この章の Jones ベクトルの複素共役で、$\lambda/4$ 板の行列は $\mathrm{diag}(1,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Gamma})$ になる。そのため、同じ実の場が $(1,\mathrm{i})$ と $(1,-\mathrm{i})$ のどちらで書かれるかが流儀で入れ替わる。円偏光の呼び名（右回り・左回り）の違いとは別に、この符号の違いがあるので、教科書の式を写すときは時間の因子を先に確かめる必要がある。Malus の法則 $I=I_0\cos^2\theta$ は、Poincaré 球の上の2点の角距離 $2\theta$ を使った式 $\cos^2(\vartheta/2)$ で、この章の内積 $\lvert \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle \rvert ^2$ と同じ式である。