この章のまとめ

(1) $\Gamma=2\pi\Delta n\,d/\lambda_0$ から、$\lambda/4$ 板は $d=\lambda_0/(4\Delta n)=17.4\,\mu\mathrm m$、$\lambda/2$ 板は $d=\lambda_0/(2\Delta n)=34.8\,\mu\mathrm m$。

(2) 式 (15.15) に $\Gamma=\pi$ を入れると、$\mathsf R(\theta)\,\mathrm{diag}(1,-1)\,\mathsf R(-\theta)$ の成分は

$$\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta&2\sin\theta\cos\theta\\2\sin\theta\cos\theta&\sin^2\theta-\cos^2\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}$$

で、式 (15.16) になる。2枚の積は、$c_i=\cos2\theta_i$、$s_i=\sin2\theta_i$ と書いて

$$\mathsf W(\theta_2,\pi)\mathsf W(\theta_1,\pi)=\begin{pmatrix}c_2c_1+s_2s_1&c_2s_1-s_2c_1\\s_2c_1-c_2s_1&s_2s_1+c_2c_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos2\Delta&-\sin2\Delta\\\sin2\Delta&\cos2\Delta\end{pmatrix}=\mathsf R(2\Delta),$$

ただし $\Delta=\theta_2-\theta_1$。2回の折り返しは、2つの鏡の角の2倍の回転である。

(3) $\mathsf R(\phi)| + \rangle =\frac{1}{\sqrt2}(\cos\phi-\mathrm{i}\sin\phi,\ \sin\phi+\mathrm{i}\cos\phi)^{\mathsf T}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}| + \rangle$ なので、$\phi=2\Delta$ で $| + \rangle \to\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\Delta}| + \rangle$。偏光は $| + \rangle$ のままで、位相 $-2\Delta$ だけが付く。式 (15.25) で確かめると、1枚目で $| + \rangle \to\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta_1}| - \rangle$、2枚目で $| - \rangle \to\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta_2}| + \rangle$ で、合わせて $\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}(\theta_2-\theta_1)}$ である。Poincaré 球の上では、1枚目は北極から経度 $2\theta_1-90^\circ$ の子午線に沿って南極へ、2枚目は南極から経度 $2\theta_2+90^\circ$ の子午線に沿って北極へ戻る。2つの子午線の経度の差は $180^\circ+2\Delta$ で、閉じた道は開き角 $180^\circ+2\Delta$ の月形を囲み、立体角は $\Theta_{\mathrm C}=2\pi+4\Delta$ である。どちらの板の中でも回転軸が状態と直交しているので動的な位相は $0$ で、位相は $-\Theta_{\mathrm C}/2=-\pi-2\Delta$ になる。$-\pi$ は2枚の $\lambda/2$ 板の行列 $\mathrm{diag}(1,-1)=\mathrm{i}\exp(-\mathrm{i}\pi\sigma_z/2)$ に1枚あたり1つずつ含まれる共通の因子 $\mathrm{i}$ の積 $\mathrm{i}^2=-1$ で打ち消され、$\theta$ によって変わる部分 $-2\Delta$ が残る。$\theta_2$ を $\delta$ 増やすと立体角は $4\delta$ 増え、位相は $2\delta$ 減る。

(4) 式 (15.25) から、位置 $x$ を通った光は $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta(x)}| - \rangle =\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} x/\Lambda}| - \rangle$ になる。出てくる光は螺旋度 $-$ の円偏光で、位相が $x$ について一定の傾き $2\pi/\Lambda$ を持つ。これは横の波数 $k_x=2\pi/\Lambda$ の平面波で、第6章の言葉では、位相の傾きを持つ開口の Fraunhofer 回折の中心が $\sin\theta_{\mathrm d}=k_x/k_0=\lambda_0/\Lambda$ の向きにずれる。$\sin\theta_{\mathrm d}=0.633/10=0.0633$ で、$\theta_{\mathrm d}=3.63^\circ$ だけ $+x$ の向きに曲がる。$| - \rangle$ を入れると位相は $\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta(x)}$ で、出てくる光は $| + \rangle$ になり、$-x$ の向きに $3.63^\circ$ 曲がる。厚さが一様な膜なのに、光の螺旋度によって逆の向きに曲がり、直線偏光を入れると2つの円偏光に分かれる。

(5) $\Gamma=2\pi\Delta n\,d/\lambda_0$ で $d$ は $633\,\mathrm{nm}$ の $\lambda/2$ 板なので、$\Gamma=\pi\times633/532=1.190\pi$。Poincaré 球の上では、北極の $| + \rangle$ が赤道の軸のまわりに $\Gamma$ だけ回るので、南極 $| - \rangle$ との重なりは $\lvert \langle - | \psi \rangle \rvert ^2=\sin^2(\Gamma/2)=0.914$、北極に残る重なりは $\cos^2(\Gamma/2)=0.086$ である。$| - \rangle$ に移った $91.4\%$ は位相 $2\theta(x)$ を受けて $3.63^\circ$ 曲がる。$| + \rangle$ に残った $8.6\%$ の振幅は $\cos(\Gamma/2)$ 倍に共通の位相が付くだけで $\theta$ によらないので、曲がらずにまっすぐ進む。曲がる角度は板の向きの模様（周期 $\Lambda$）だけで決まって $\lambda_0/\Lambda$ になり、位相差のずれは曲がる光の割合だけを変える。