この章で取り出すもの：2つの偏光モードと外場で動く振動子

光学と量子エレクトロニクス　第16章 §16.1　★★★ 静的な電場は非調和な振動子の釣り合いの位置をずらして共鳴の周波数を変え、静的な磁場は Lorentz 力で円運動の向きによって共鳴を分ける。どちらも感受率を外場の関数にする

第15章（第15章）では、結晶の異方性によって2つの偏光モードの屈折率が異なる媒質を扱い、偏光の変化を Jones 行列と Poincaré 球の上の回転で表した。そこでの屈折率の差は結晶が最初から持っているもので、外から変えることはできなかった。この章では、外から静的な電場 $\bm{E}_0$ や磁場 $\bm{B}_0$ を掛けて、屈折率の差を作り、その大きさを外場で変える。電場の1次で屈折率が変わるのが Pockels 効果、2次で変わるのが Kerr 効果、磁場の1次で螺旋度 $\pm$ の2つの円偏光（第15章）の屈折率が変わり、直線偏光の向きが回るのが Faraday 効果である。

章の型（第1章 第1章）に当てはめると、取り出す場のモードは同じ向きに進む平面波の2つの偏光モード、物質のモデルは第11章（第11章）の Lorentz 振動子に静的な場の影響（電場なら復元力の非調和な項、磁場なら Lorentz 力）を加えたもの、結合は外場で変わった感受率テンソル $\chi_{ij}(\omega;\bm{E}_0,\bm{B}_0)$ である。光の場そのものは弱く、物質の応答は光について線形のままにする。外場について非線形になる点が、光の場について非線形になる第17章（第17章）との違いである。

16.1節で、静的な場が振動子の共鳴をずらすことから感受率の変化を出す。16.2節で、その変化を屈折率楕円体の変形として書き、空間反転と時間反転の対称性が、どの項が許されるかを決めることを示す。16.3節（Pockels 効果と変調器）、16.4節（Kerr 効果）、16.5節（Faraday 効果と非相反性）が「出てくるもの」である。16.6節で置いた近似・実験で確かめる量・授業で習う形との対応を述べ、16.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

この章で取り出す場のモードは、$z$ 方向に進む平面波 $\bm{E}(z,t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_\omega\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}]$ の2つの偏光モードである。横波の複素振幅 $\bm{E}_\omega$ は $x$, $y$ の2成分を持つ複素ベクトル（第15章の Jones ベクトル）で、媒質の中ではこの2次元の空間の中に、変形を受けずに進む固有偏光が2つある。等方的な媒質では2つの固有偏光の屈折率が等しいので、どの偏光もそのまま進む。外場はこの縮退を解き、2つの固有偏光の屈折率に差 $\Delta n$ を作る。長さ $L$ を進むと2つの固有偏光の間に位相差 $\Gamma=\omega\Delta nL/c$ が付き、偏光の状態が変わる。この章で計算するのは、外場から $\Delta n$ を出すことである。

物質のモデルは Lorentz 振動子（第11章 第11章）で、変位 $\bm{x}$ の電子（電荷 $-e$、質量 $m$）が

$$m\ddot{\bm{x}}=-m\omega_0^2\bm{x}-m\gamma\dot{\bm{x}}+\bm{F}_{\mathrm{nl}}(\bm{x})-e\bigl(\bm{E}_0+\bm{E}(t)\bigr)-e\,\dot{\bm{x}}\times\bm{B}_0\tag{16.1}$$

に従うとする。$\bm{F}_{\mathrm{nl}}$ は復元力の非調和な部分、$\bm{E}_0$ と $\bm{B}_0$ は外から掛けた静的な場、$\bm{E}(t)$ は光の場である。感受率は、光の場に比例する部分の変位 $\bm{x}_\omega$ から $\bm{P}_\omega=-Ne\bm{x}_\omega=\varepsilon_0\chi\bm{E}_\omega$ で読む（$N$ は振動子の数密度。局所場の補正は 16.6節で触れる）。

結合は、外場が振動子の運動方程式の係数を変えることで表される。外場が無ければ、式 (16.1) から第11章の$\chi(\omega)=\omega_{\mathrm p}^2/(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega)$ が出る。ここで $\omega_{\mathrm p}^2=Ne^2/(m\varepsilon_0)$ と書いた（第13章 第13章 の金属のプラズマ周波数と同じ形の量で、振動子の数密度で決まる）。以下で、電場と磁場がこの式をどう変えるかを順に見る。

静的な電場は釣り合いの位置をずらす

1次元で考え、非調和な力を $F_{\mathrm{nl}}=-max^2-mbx^3$ とする。静的な電場 $E_0$ だけが掛かった釣り合いの位置 $x_0$ は、$a$, $b$ の最低次で $x_0=-eE_0/(m\omega_0^2)$ である。光の場による小さな振動 $x=x_0+\xi$ を考え、$\xi$ について1次まで残すと、復元力は $-m(\omega_0^2+2ax_0+3bx_0^2)\xi$ になる。釣り合いの位置がずれたことで、そこでのばねの硬さが変わったのである。共鳴の周波数の2乗の変化は

$$\Delta(\omega_0^2)=2ax_0+3bx_0^2=-\frac{2aeE_0}{m\omega_0^2}+\frac{3be^2E_0^2}{m^2\omega_0^4}\tag{16.2}$$

で、$a$ の項は $E_0$ の1次、$b$ の項は $E_0$ の2次である。感受率はこれに応じて

$$\Delta\chi=-\frac{\omega_{\mathrm p}^2\,\Delta(\omega_0^2)}{(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega)^2}\tag{16.3}$$

だけ変わる。$E_0$ の1次の変化（Pockels 効果）を作るのは $x^2$ の項、つまりポテンシャルの $x^3$ の項であり、ポテンシャルが $x\to-x$ で対称な物質（$a=0$）では1次の変化は無く、2次の変化（Kerr 効果）だけが残る。16.2節で、この事情が空間反転の対称性の一般的な帰結であることを示す。

静的な磁場は円運動の向きで共鳴を分ける

次に $\bm{B}_0=B_0\bm{e}_z$ だけを掛け、非調和な項を落とす。光の場による変位を $\bm{x}_\omega\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と書くと $\dot{\bm{x}}=-\mathrm{i}\omega\bm{x}$ なので、式 (16.1) の $x$, $y$ 成分は

$$\begin{pmatrix}D&-\mathrm{i}\omega\omega_{\mathrm c}\\ \mathrm{i}\omega\omega_{\mathrm c}&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_\omega\\ y_\omega\end{pmatrix}=-\frac em\begin{pmatrix}E_{\omega x}\\ E_{\omega y}\end{pmatrix}, \qquad D=\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega,\qquad \omega_{\mathrm c}=\frac{eB_0}{m}\tag{16.4}$$

になる。$\omega_{\mathrm c}$ は電子のサイクロトロン角周波数である。この行列の固有ベクトルは円偏光

$$\bm{e}_\pm=\frac{1}{\sqrt2}(\bm{e}_x\pm\mathrm{i}\bm{e}_y)\tag{16.5}$$

で、固有値は $D\pm\omega\omega_{\mathrm c}$ である。$\operatorname{Re}[\bm{e}_+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]\propto(\cos\omega t,\sin\omega t)$ なので、$\bm{e}_+$ は $+z$ から見て反時計回りに（$\bm{B}_0$ の向きに右ねじを進める向きに）回る。$+z$ へ進む光では、$\bm{e}_\pm$ は第15章の $| \pm \rangle$（式 (15.13)、螺旋度 $\pm$）と同じ偏光である。$-z$ へ進む光では螺旋度の符号が逆になるが、$\bm{e}_\pm$ は実験室の $+z$ に固定して定義する。したがって2つの円偏光の感受率は

$$\chi_\pm(\omega)=\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega\pm\omega\omega_{\mathrm c}}\tag{16.6}$$

になる。$\bm{e}_+$ の向きに円運動する電子には、$-e\dot{\bm{x}}\times\bm{B}_0$ が円の中心を向く力として加わり、ばねが硬くなったのと同じ働きをする（$\omega_0^2\to\omega_0^2+\omega\omega_{\mathrm c}$）。逆向きに回る電子には外向きの力が加わり、ばねが柔らかくなる。共鳴の近くでは $\omega_0^2-\omega^2+\omega\omega_{\mathrm c}\approx\omega_0^2-(\omega-\omega_{\mathrm c}/2)^2$ なので、$\bm{e}_+$ の共鳴は $\omega_0+\omega_{\mathrm c}/2$ へ、$\bm{e}_-$ の共鳴は $\omega_0-\omega_{\mathrm c}/2$ へずれる。これは古典的な Zeeman 効果（共鳴が Larmor の角周波数 $\omega_{\mathrm c}/2$ だけ上下に割れること）である。

$x$, $y$ の成分で書くと、式 (16.4) の逆行列から

$$\chi_{xx}=\chi_{yy}=\frac{\omega_{\mathrm p}^2D}{D^2-\omega^2\omega_{\mathrm c}^2},\qquad \chi_{xy}=-\chi_{yx}=\frac{\mathrm{i}\,\omega_{\mathrm p}^2\,\omega\omega_{\mathrm c}}{D^2-\omega^2\omega_{\mathrm c}^2}\tag{16.7}$$

を得る。磁場は感受率テンソルに反対称な非対角成分を作り、その成分は $B_0$ の奇関数である。電場の効果（式 (16.3)）が対角成分（一般には対称なテンソル）を変えるのと対照的で、この違いが 16.5節の非相反性の出どころになる。