当てる道具：屈折率楕円体の変形と2つの対称性

光学と量子エレクトロニクス　第16章 §16.2　★★★ 外場による変化を $\Delta(\varepsilon_{\mathrm r}^{-1})_{ij}=\sum_kr_{ijk}E_{0k}+\sum_{kl}s_{ijkl}E_{0k}E_{0l}$ と書く。空間反転は反転対称な物質で $r$ を消し、時間反転（Onsager の関係）は磁場の項を反対称に限る

屈折率楕円体

損失の無い異方性の媒質では、比誘電率テンソル $\varepsilon_{\mathrm r}$ は実対称で、その逆行列 $\eta=\varepsilon_{\mathrm r}^{-1}$ を使って

$$\sum_{ij}\eta_{ij}x_ix_j=1\tag{16.8}$$

と書いた楕円体を屈折率楕円体と呼ぶ（第15章 第15章）。$\eta$ の主軸の向きに偏った光の屈折率は、その主軸の方向の半径 $1/\sqrt{\eta_{\mathrm{主}}}$ に等しい。$\varepsilon_{\mathrm r}$ でなく逆行列 $\eta$ を使うのは、$\bm{D}$ を与えて $\bm{E}$ を出す向き（$\bm{E}=\eta\bm{D}/\varepsilon_0$）が横波の条件 $\bm{k}\cdot\bm{D}=0$ と相性がよく、進む向きに垂直な断面の楕円の軸の向きと長さが、そのまま2つの固有偏光と屈折率になるからである。

外場による変化は、この $\eta$ の変化で書くのが慣例である：

$$\Delta\eta_{ij}=\sum_kr_{ijk}E_{0k}+\sum_{kl}s_{ijkl}E_{0k}E_{0l}.\tag{16.9}$$

$r_{ijk}$ を Pockels 係数（1次の電気光学係数）、$s_{ijkl}$ を2次の電気光学係数（Kerr 係数）と呼ぶ。$\eta$ が対称なので $r_{ijk}=r_{jik}$ で、対称な対 $(ij)$ を$xx\to1$, $yy\to2$, $zz\to3$, $yz\to4$, $zx\to5$, $xy\to6$ の1つの添字にまとめ（Voigt の記法）、$r_{xyz}$ を $r_{63}$ のように書く。1つの主軸の屈折率 $n$ で書けば $\eta=1/n^2$ なので、$\Delta\eta$ が小さいとき屈折率の変化は

$$\Delta n=-\frac{n^3}{2}\,\Delta\eta\tag{16.10}$$

である。例題 16.1 の (3) の $r$ はこの定義に合わせたものである。

空間反転：反転対称な物質に Pockels 効果は無い

空間反転 $\bm{x}\to-\bm{x}$ で、電場 $\bm{E}_0$ は向きが反転する（極性ベクトル）。光の偏光の楕円体 $\eta_{ij}$ は2つの添字を持つテンソルで、反転では符号を変えない。物質の結晶構造が反転対称であれば、反転した物質は元の物質と同じなので、$\Delta\eta(\bm{E}_0)=\Delta\eta(-\bm{E}_0)$ でなければならない。式 (16.9) の1次の項は $\bm{E}_0$ の符号で反転するので、反転対称な物質では $r_{ijk}=0$ である。2次の項 $s_{ijkl}E_{0k}E_{0l}$ はこの制約を受けない。

16.1節の非調和な振動子の $a$（ポテンシャルの $x^3$ の項）は、この対称性を破る項そのものだった。Pockels 効果を示すのは反転対称の無い結晶（水晶・リン酸二水素カリウム KDP・ニオブ酸リチウムなど）に限られ、気体・液体・ガラスのような等方的な媒質と、反転対称な結晶では、電場の効果は Kerr 効果から始まる。同じ対称性の議論は第17章の $\chi^{(2)}$（第二高調波）にもそのまま当てはまり、Pockels 効果は「光の周波数 $\omega$ と静的な場（周波数 $0$）の2つを入れて周波数 $\omega$ の分極を出す $\chi^{(2)}$」とみなすことができる。

時間反転：磁場の項は反対称になる（Onsager の関係）

時間反転では、電場 $\bm{E}_0$ は変わらず、磁場 $\bm{B}_0$ は向きが反転する（磁場を作る電流の向きが逆になる）。微視的な運動方程式が時間反転について対称であることから、線形応答の係数は Onsager の相反関係

$$\varepsilon_{ij}(\omega;\bm{B}_0)=\varepsilon_{ji}(\omega;-\bm{B}_0)\tag{16.11}$$

を満たす。式 (16.7) は確かにこれを満たす（$\chi_{xy}(B_0)$ は $B_0$ の奇関数で $\chi_{yx}=-\chi_{xy}$ なので、$\chi_{xy}(B_0)=-\chi_{xy}(-B_0)=\chi_{yx}(-B_0)$）。式 (16.11) を $\varepsilon_{ij}$ の対称な部分と反対称な部分に分けると、対称な部分は $\bm{B}_0$ の偶関数、反対称な部分は奇関数である。したがって $\bm{B}_0$ の1次の効果は反対称な成分にしか入らない。損失が無ければ $\varepsilon_{ij}$ はエルミート行列なので（第10章 第10章 の受動性で $\operatorname{Im}\chi=0$ の場合）、反対称な部分は純虚数になり、

$$\varepsilon_{\mathrm r}=\begin{pmatrix}\varepsilon_1&\mathrm{i} g&0\\ -\mathrm{i} g&\varepsilon_1&0\\ 0&0&\varepsilon_3\end{pmatrix},\qquad g\ \text{は}\ B_0\ \text{の奇関数で実数}\tag{16.12}$$

の形になる（$\bm{B}_0\parallel\bm{e}_z$）。$g$ をジャイレーションと呼ぶ。この行列の $xy$ ブロックの固有ベクトルは円偏光 $\bm{e}_\pm$ で、$\varepsilon_{\mathrm r}\bm{e}_\pm=(\varepsilon_1\mp g)\bm{e}_\pm$ だから$n_\pm^2=\varepsilon_1\mp g$ である。式 (16.7) の $\gamma=0$ の場合、$g=\omega_{\mathrm p}^2\omega\omega_{\mathrm c}/(D^2-\omega^2\omega_{\mathrm c}^2)$ で、$\varepsilon_1\mp g=1+\chi_\pm$ は式 (16.6) に一致する。

電場の効果と磁場の効果の違いは、第15章の Poincaré 球の上で見ると分かりやすい。対称なテンソルの変化は2つの直線偏光（または楕円偏光）の間の屈折率の差で、偏光の状態を赤道面の中の軸のまわりに回す。反対称な純虚数の変化は2つの円偏光の間の屈折率の差で、偏光の状態を北極と南極を結ぶ軸（$S_3$ の軸）のまわりに回す。$S_3$ の軸のまわりの回転は、直線偏光を直線偏光のまま、その向きだけを回す。