出てくるもの（1）：Pockels 効果と光の変調器

光学と量子エレクトロニクス　第16章 §16.3　★★★ 電場に比例する位相差を、干渉計か直交した偏光子で強度の変化に直す。半波長電圧 $V_\pi$ が変調器の性能を決め、横型の配置では長さと電極の間隔の比で $V_\pi$ を下げられる

位相変調器

1つの主軸の向きに偏った光だけを通すと、Pockels 効果は位相だけを変える。屈折率 $n$、Pockels 係数 $r$ の向きに偏った光が長さ $L$ の結晶を通るとき、電極の間隔 $d$ に電圧 $V$ を掛けた横型の配置（電場 $V/d$ が光の進む向きに垂直）では、位相の変化は

$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta n\,L=-\frac{\pi}{\lambda}n^3r\frac{V}{d}L\tag{16.13}$$

で、$\lvert \Delta\phi\rvert =\pi$ になる電圧は

$$V_\pi=\frac{\lambda}{n^3r}\,\frac dL\tag{16.14}$$

である。縦型（例題 16.2）と違い、$d/L$ を小さくすれば $V_\pi$ はいくらでも下がる。光導波路の幅を $\mathrm{\mu m}$ の桁に絞り、そのすぐ脇に電極を置いて長さを $\mathrm{cm}$ の桁にすると、$d/L\sim10^{-3}$ になり、$V_\pi$ は数 $\mathrm V$ まで下がる。光通信の変調器が数 V の駆動電圧で動くのはこのためである。

強度変調器：干渉計か偏光子で位相を強度に直す

位相の変化は強度の検出器では見えないので、干渉で強度に直す。Mach–Zehnder 干渉計（第9章 第9章）の片方の腕に位相変調器を置くと、出力の透過率は2つの腕の位相差 $\phi_{\mathrm b}+\pi V/V_\pi$ で決まり

$$T(V)=\cos^2\Bigl(\frac{\phi_{\mathrm b}}{2}+\frac{\pi V}{2V_\pi}\Bigr)\tag{16.15}$$

になる（$\phi_{\mathrm b}$ は電圧を掛けないときの位相差。損失は無視する）。同じ式は、例題 16.2 の結晶を直交した2枚の偏光子の間に $45^\circ$ の向きで置いた場合にも出る（$\phi_{\mathrm b}=\pi$、偏光の位相差 $\Gamma$ が干渉計の位相差の役をする）。

$\phi_{\mathrm b}=\pi$ では $T=\sin^2(\pi V/(2V_\pi))$ で、$V=0$ の近くの変化は $V^2$ に比例する。小さな交流の電圧を掛けると、透過率は電圧の2乗で変わり、出力の周波数は入力の2倍になる。信号をそのまま強度に写したいときは、位相差に $\pi/2$ を足して $\phi_{\mathrm b}=-\pi/2$ にする（偏光子の配置では $\lambda/4$ 板を1枚加える）。このとき

$$T(V)=\frac12\Bigl[1+\sin\Bigl(\frac{\pi V}{V_\pi}\Bigr)\Bigr]\tag{16.16}$$

で、$V=0$ の近くで $T$ は $V$ に比例する（図 16.1）。この点を直交点と呼ぶ。直交点では $T-\frac12$ が $V$ の奇関数なので、正弦波の電圧で変調しても偶数次の高調波は出ない。

変調の速さ

Pockels 効果の応答は、電子の変位（光の周期より速い）と、結晶の格子のイオンの変位（格子振動の周期、$10^{-13}\,\mathrm s$ の桁）の和である。どちらも $\mathrm{GHz}$ の変調に比べて十分速いので、変調の速さを決めるのは結晶の応答でなく、電極を駆動する回路（電極の容量と配線の抵抗）と、光が変調器を通り抜ける時間の間に電圧が変わってしまうことである。後者を避けるため、高速の変調器では電極を伝送線路にして、電圧の波を光と同じ速さで進ませる。