出てくるもの（3）：Faraday 効果と非相反性

光学と量子エレクトロニクス　第16章 §16.5　★★★ 磁場に平行に進む光では2つの円偏光の屈折率が分かれ、直線偏光の向きが $\theta=\mathcal VB_0L$ だけ回る。回る向きは光の進む向きでなく磁場の向きで決まるので、往復で打ち消さない。これが時間反転対称性の破れである

偏光の回転の角度

磁場 $\bm{B}_0=B_0\bm{e}_z$ に平行に $+z$ 方向へ進む光を考える。固有偏光は円偏光 $\bm{e}_\pm$ で、屈折率は $n_\pm=\sqrt{1+\chi_\pm}$（式 (16.6)）である。$z=0$ で $x$ 方向の直線偏光 $\bm{e}_x=(\bm{e}_++\bm{e}_-)/\sqrt2$ を入れると、長さ $L$ の後の偏光は

$$\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\bm{e}_+\mathrm{e}^{\mathrm{i} n_+\omega L/c}+\bm{e}_-\mathrm{e}^{\mathrm{i} n_-\omega L/c}\bigr) =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar n\omega L/c}\bigl(\bm{e}_x\cos\theta+\bm{e}_y\sin\theta\bigr),\qquad \bar n=\frac{n_++n_-}{2}$$

になる。ここで

$$\theta=\frac{\omega L}{2c}(n_--n_+)\tag{16.23}$$

で、偏光は直線偏光のまま、$+z$ から見て反時計回りに $\theta$ だけ回る（$\theta<0$ なら時計回り）。Poincaré 球の上では、$S_3$ の軸のまわりの角 $2\theta$ の回転である。弱い磁場で $\theta$ は $B_0$ に比例するので、

$$\theta=\mathcal VB_0L\tag{16.24}$$

と書き、$\mathcal V$ を Verdet 定数と呼ぶ（単位は $\mathrm{rad\,T^{-1}\,m^{-1}}$）。

共鳴から遠い所：Becquerel の式

共鳴から十分離れた所（$\lvert \omega_0-\omega\rvert \gg\omega_{\mathrm c},\gamma$）では、式 (16.6) の分母は $\omega_0^2-(\omega\mp\omega_{\mathrm c}/2)^2$ と $\omega_{\mathrm c}$ の1次まで一致するので、$\chi_\pm(\omega)=\chi(\omega\mp\omega_{\mathrm c}/2)$、つまり $n_\pm(\omega)=n(\omega\mp\omega_{\mathrm c}/2)$ である。磁場の中の電子の運動は、Larmor の角周波数 $\omega_{\mathrm c}/2$ で回る座標系から見ると $\omega_{\mathrm c}$ の1次で磁場の無い運動になる（Larmor の定理）。円偏光はその座標系で周波数が $\omega_{\mathrm c}/2$ だけずれて見えるので、磁場の無い分散 $n(\omega)$ をずらしたものが屈折率になる。したがって $n_--n_+=\omega_{\mathrm c}\,\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \omega}$ で、

$$\theta=\frac{eB_0}{2mc}\,\omega\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \omega}\,L,\qquad \mathcal V=-\frac{e}{2mc}\,\lambda\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}\tag{16.25}$$

を得る（$\omega\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega=-\lambda\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda$）。これが Becquerel の式で、Verdet 定数が磁場の無いときの分散 $\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda$ だけで決まることを言う。正常分散（$\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda<0$）の透明な物質では $\mathcal V>0$ で、偏光は磁場の向きに右ねじを進める向きに回る。

自由電子の気体（$\omega_0=0$, $\gamma=0$）では $\chi_\pm=-\omega_{\mathrm p}^2/(\omega(\omega\mp\omega_{\mathrm c}))$ で（$\bm{e}_+$ が電子のサイクロトロン運動と同じ向きに回り、$\omega=\omega_{\mathrm c}$ で共鳴する）、$\omega\gg\omega_{\mathrm p},\omega_{\mathrm c}$ なら $n_\pm\approx1-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{2\omega^2}(1\pm\frac{\omega_{\mathrm c}}{\omega})$、

$$\theta=\frac{\omega_{\mathrm p}^2\omega_{\mathrm c}L}{2c\omega^2}=\frac{e^3}{8\pi^2\varepsilon_0m^2c^3}\,\lambda^2NB_0L\tag{16.26}$$

になる。回転の角は波長の2乗に比例する。電波天文学では、パルサーなどの偏った電波の偏光の向きを複数の波長で測り、$\lambda^2$ の係数（回転量度）から視線に沿った $\int NB_0\,\mathrm{d} z$ を出す。係数 $e^3/(8\pi^2\varepsilon_0m^2c^3)$ は $2.63\times10^{-13}\,\mathrm{rad\,T^{-1}}$ である。

共鳴の近く

共鳴の近くでは、2つの円偏光の共鳴が $\omega_{\mathrm c}$ だけ離れるので、屈折率の曲線（第10章の分散型の曲線）も左右にずれる（図 16.2）。回転の角に比例する $n_--n_+$ は、共鳴から遠い所では Becquerel の式に従い、共鳴の中では符号が反転して大きくなる。共鳴の中では吸収も2つの円偏光で違い（磁気円二色性）、直線偏光は回りながら楕円偏光になる。

非相反性：往復で打ち消さない回転

$-z$ 方向に進む光を考える。光の進む向きが逆になっても、式 (16.4) は変わらない。電子の運動方程式に入るのは光の電場の時間変化と $\bm{B}_0$ だけで、光の進む向きは入らないからである。したがって固有偏光は同じ $\bm{e}_\pm$（実験室の $+z$ から見た回転の向きで定義したもの）で、屈折率も同じ $n_\pm$ である。$-z$ 方向に長さ $L$ を進むと、偏光は $+z$ から見てやはり反時計回りに $\theta$ だけ回る。鏡で反射させて往復させると、回転の角は $2\theta$ になり、打ち消さない（図 16.3）。

第15章で扱う旋光性（キラルな分子の溶液や水晶の、自然な旋光）は、これと対照的である。旋光性は感受率の波数 $\bm{k}$ についての1次の項（第10章で触れた空間分散）から出て、反対称な項は $\bm{k}$ に比例する。$\bm{k}$ は光の側の量なので、光の向きを逆にすれば反対称な項の符号も逆になり、偏光は光の進む向きから見て同じ向き（実験室から見て逆向き）に回る。往復すると回転は打ち消し合い、元の偏光に戻る。

2つの違いは時間反転で整理することができる。磁場の項 $\mathrm{i} g\propto\bm{B}_0$ も旋光性の項 $\propto\bm{k}$ も、時間反転で符号を変える量に比例する反対称な項である。しかし時間反転で光の向きを逆にするとき、旋光性では $\bm{k}$ も一緒に逆になるので媒質は元の媒質と同じであり、光が来た道を戻れる（相反）。Faraday 効果では $\bm{B}_0$ は外から掛けた場で、光を逆向きにしても $\bm{B}_0$ は逆にならない。磁場を掛けた媒質は時間反転について対称でなく、式 (16.11) が結ぶのは、$\bm{B}_0$ を逆にした別の媒質との関係だけである。$\varepsilon_{ij}$ が対称でない媒質では、Lorentz の相反定理（点 A から点 B への伝達と点 B から点 A への伝達が等しいこと）が成り立たない。光アイソレータ（総合問題）は、この非相反性を使って一方向にだけ光を通す。